Колебания и бегущие полны в химических системах - Филд Р.
Скачать (прямая ссылка):
тпирш^о 0ТР*ЄННЄ СлуЧая m = 2 промдится аналогично. Двухточечная орбита дается решением уравнения
0 = 0-1 - I) у + р (LJ^ + L1L11) у+L0(Q (у, O) + C (у, 0)} +
+ Q (La, 0) + с (L0J,, 0) + о (р» \\ у ||, I р іЦ у (P) (1.45)
нрІї^І'оЧиІ^'^11^0, Т° соб"венное число Li равное 1
АемГв',То^ке"Л™1"" "е">'™ ""лон. ». согласно • в точке (0, 0) имеет место бифуркация. Редукция
Maгемапі'ііч'кие попроси исследования колебаний
59
О
Рис. 1.7. Изменения фазового лортреіа ари бифуркации удвоения период
уравнения (1.45) с помощью метода Ляпунова — Шмидта приводит к бифуркационному уравнению, в котором члены четного порядка но а всегда обращаются в нуль, и поэтому, естественно, решения существуют лишь но одну из сторон от р = 0. Как н в случае т=1, нетрудно показать, что в бифуркационной точке происходит смена устойчивости. Так как периодическая орбита двухточечна, то эта бифуркация называется бифуркацией удвоения периода. Оба бифуркационных решения отличаются лишь но фазе, и качественный вид того, как меняется решение вблизи р = 0, показан на рис. 1.7.
Остальные сильные резонанси т = 3, 4 н слабые резоиансы т ^ 5 удобнее всего анализировать, если преобразовать отображение Пуанкаре в нормальную форму. Если с помощью комплексного преобразования линейная часть уравнения (1.43) приведена к диагональному виду, то уравнение (1.43) может быть записано как
z„+i = >. (р) г„ + Z Ам (г, г, р) (1.46
где г комплексно, a Ak комплексно и однородно степени k. Введем преобразование координат
Z = I+ I г*(K) (1.47)
и выберем в Pt коэффициенты таким образом, чтобы исключить максимально возможное число нелинейных членов (так же, как это было сделано для векторных полей). Если преобразованное уравнение записать в виде
1„+1 = Mp)S„+ Z вк(1п, In, P) о-48>
то сравнение коэффициентов показывает, что во втором порядке коэффициенты Г2„ должны быть выбраны слелуюшим обпачом:
T^0 = (A220-B2211)I(X2-).)
T211 = (Л2„- в2„)/(й ->.)
T202 = (A202- В.М2)/(А2-Я) Они являются вполне определенными, только если І\ф0,'- ^ ¦ и *2 Ф X. Это, вообще говоря, будет выполняться при рФО, ."!
Глаиа 1. А'. Отмер
1ф1, рф0 може,- »е выполняться. Например, если m - 3 то •О =Тхр(2л,'/3) ... таким образом, А (0) Ф 1 но A(O)* = М0). Поэтому указшпше уравнения не определяют P202, и мы должны
п L2 = ЛЖ: Остав.....сен коэффициенты B2 могут быть
авиепы"нулю. .. соответствующие коэффициенты I2 будут ю'ше определены. В результате с точностью до членов третього поря тка для ;и = 3 нормальная форма будет иметь вид
Аналогичная операция для m Зг 4 дает следующую нормальную форму:
= ?„ (A (P) + СЛ (/>) I In P + C5 (P) I 6« Г + • ¦ •) +
+ c^1(p)IT" +°(|6пГ+1) (1-50)
Резонанс м = 3 приводит к неустойчивым периодическим решениям по обе стороны от р = 0, в то время как резонанс m = 4 в зависимости от коэффициентов может дать, а может и не дать периодические решения. Детальное описание этих случаев можно найти в оригинальной литературе [24, 481, 482, 987, 76].
Ранее мы привели эвристические соображения относительно существования бифуркационного инвариантного тора в случае, когда периодическая орбита теряет устойчивость таким образом, что показатель Imp иррационален. Оказывается, что слаборезонансные системы имеют подобные свойства. Точная формулировка условий существования составляет содержание теоремы Хопфа для отображений.
Теорема 10. Пусть G ¦ R2 XT = R-+R2 — гладкое семейство параметризованных отображений, обладающих тем свойством, что 6(0, р) = 0 для pel. Положим, что
1) G1(O, 0) имеет собственные значения A0 п A0, такие, что IAoI=I1 ІЇФ 1, п=1, 2, 3, 4;
2) [?.(p)lU>0.
Тогда в односторонней окрестности р = 0 (возможно, только при р = 0) существует инвариантный цикл отображения G, который ответвляется от (?, р) = (0, 0). Если величина ^3(O) (определение g3 см. ниже) отрицательна, инвариантный цикл существует нрн р > о, и он является притягивающим, в то время как при положительном g3(0) инвариантный цикл существует при р < о и при этом является отталкивающим (т. е при обратных итерациях ои притягивающий).
,,Л!!!1а\1?,М^|)1'зулиат Работ Саккера [848] и Рюэля rvu^f,3 1 51 ¦ Замет,ш. что условие (1) исключает лишь те кярГтіс; TOt,K"' К0Т°Рые Дают сильные резоиансы, но не касается рациональных точек вида 1пц» = 2л//тГ для m > 5 заметим также, что при |Я|'(0)<0 имеют место два других
случая. Если отображение О — это отображение Пуанкаре для потока с непрерывным временем, то бифуркационный инвариантный цикл отображения генерирует для этого потока инвариантный тор.
Для построения инвариантной кривой перейдем в уравнении (1.50) к полярным координатам I = re*. Это приводит к уравнениям
/-„+, = I >.(p)\rn{\+g3(р)ri + g,(р)г; + g... , (р. ч,.)г- -*} + ...
(1.51)
е„+1 = °„ + >• + G3 (P) Г'І, + ^ (P) r\ + O1n-1 (р, lin) r"n -»+...
(1.52)
(Р. Є„) ^ Re ( 0X(^ exp (- ітЄя)) о» W-Im (-^). C4(P)-Im(^)
Ст-,(р, On)^Im (?^l?lexp(- /тЄ„))
Запишем Я в виде P. = P-0(I + рХ, + 0(р2)); тогда |Р.| = І т-+ р Re ?ч + О (р2) и (1.51) можно переписать в виде
