Колебания и бегущие полны в химических системах - Филд Р.
Скачать (прямая ссылка):
1.3.2. Двусторонне связанные системы
Двусторонне связанными системами называются такие системы, которые имеют вид
tlxJdI = /, (X1) + F1 (X1.....х„), i=l.....п (1.63)
причем dl'i/dxj для любого і не обращается в нуль тождественно при всех /. Другими словами, эволюция каждой субъедииицы должна зависеть от состояния хотя бы еще одной субъединицы. Модели такого типа и н.х непрерывные аналоги возникают при рассмотрении образования пространственных структур в колебательных реакциях н в многочисленных других задачах в биологии, химии, механике и физиологии. В общем случае субъединицы не обязательно должны быть идентичными, так же как п связь между ними не обязательно должна быть симметричной. В пределе очень слабой пли очень сильной связи удается получить аналитические результаты, довольно слабо зависящие от конкретного вида функций /, и Ft, если каждое из уравнений Xi = J(Xi) имеет асимптотически устойчивое периодическое решение. Например, рассмотрим ряд идентичных осцилляторов, связанных линейной диффузионно подобной связью лишь с ближайшими соседями. Если матрица диффузии диагональна и положительно определена, то при всех начальных условиях система релакенрует к синхронизированному состоянию, при условии что соответствующее время релаксации для диффузии короче, чем для динамики, определяемой членами j(xi) [30]. В другом предельном случае связь может оказывать как пренебрежимо малое, так и очень сильное воздействие в зависимости от того, рассматриваются ли устойчивые или неустойчивые свойства несвязанной системы. Если каждая из m двумерных систем имеет единственный устойчивый предельный цикл, то произведение
„ R генерирует инвариантный притягивающий этих кривых^ M- № 1Я цр11 слабой связи так
„(.тор7 . ^"',0 „идейных колебании. Однако несвязан-же, как и і і цчя*. вы"» - е сВ0йСтво периодических
1ШЯ сстема им"гч"л".^с то ько конечное число этих решений ?а~жн ° Ги изііпх) сохранится при наложении связи. 1 В С*"м разделе мы вкратце опишем некоторые из результатов отноешцпхеи к динамическому поведению двух идентичных шпейпо связанных осцилляторов, которое рассматривается как IbViIKUIi» двух параметров, одни из которых - частота, а fluvrofiпараметр связи. (Детальный анализ представлен а [9ч] В работах |752, 30, 466, 517, 273, 687] также рассматриваются связанные осцилляторы.) Уравнения в нашем случае имеют вид
dxjdt = их, + р>, - .V, {х] + Ц-) + D1, (X2 -X1) + D1, (у, -у,) dyjdt = - p.v, + ш/, - //, (л-; + і;;) + IX1 (X2 - X1) + D2, (у, - у,) dxjdl = ах .4-6«.- X, (х\ + іЛ) + Dn (X1 - х,) + Dn X (I -64)
X(U1-U2)
tltj,jdi = - р.\-_, ші, - у, (х\ + I)V) + D21 (.V1 - .X2) + D2, (у, — у.,)
где a, Ji > 0, a D/, ^ 0. Каждый из несвязанных осцилляторов описывается нормальной формой (1.25) с fi=-1 и G3 = O с точностью до членов четвертого порядка. Данные уравнения — ъто также — (о-система, которую исследовали Копелл и Говард [537]. Хотя в уравнениях для связанной системы имеется кросс-дпффузия, ио если все неднагональные члены не обращаются іождественно в пуль, то наличие кросс-диффузии может быть артефактом, привнесенным заменой переменных, которая приводит общее уравнение к нормальной форме. Преобразование, которое приводит линейную часть несвязанных уравнений к каноническому виду, будет вносить в матрицу диффузии педпаго-пальные члены, если только матрица указанного преобразования не является диагональной в исходных координатах.
Поток, генерируемый этими уравнениями, имеет несколько .'.нвариантных многообразий малой размерности, два из которых существуют при всех значениях параметра, а один —при достаточно малой величине коэффициента связи. Последнее многообразие представляет собой тор Т\ который генерируется про-іВДіея упоачпвьі, предельных циклов радиуса г = V« в ™ "1Стеме " С0*Гаияется „р„ малых D глоба^иые
"mSS 1„^браЗИЯ ~аі° Л,1,,еЯ1,ые «одпространстиа /с,, "¦!даваемые выражениями
05SUb X,, IJ1, IJ2[X1 ^x,, IJ1 = ,,,)
n-{V;, •V2, ;/„ U2]X1^-X2, у, = -,/.,}
Анализ нотокон на <0 тривиален, поскольку точки на <0 соответствуют синхронным решениям и предельный цикл является глобально притягивающим для О \ {О, О, О, О}. Анализ потоков на T2 и па П дается ниже.
Как мы уже заметили, когда осцилляторы не связаны, имеется двухнараметрнческое семейство периодических решений на 7'2. Так как одну из фаз можно выбрать произвольно, то, выбрав соответствующим образом начальный момент времени, мы оставим лишь один существенный параметр — разность фаз между осцилляторами. Чтобы увидеть, как это семейство ведет себя при наложении возмущения, выведем уравш эволюции разности фаз. Для этого удобно зависать ко> циенты Di1 в виде Di1 = Й/Зі/, где б ¦< 1, a Di1¦ ~ 0(1), и оирс-.іл. лить г,¦ = Xj + iyi, /=1,2. Тогда (1.64) преобразуется к виду
dzjdt = ?._z, — Z11 z, I2 + б, (? — Z1) + 62 (z2 - г,)
dz.Jdt = ?._z2 - Z21Z2 P + б, (Z1 - Z2) + 62 (z, - Z2) (1 -6°'
где_ Л_=а-ІГ3;3 = 6{/5,, + D22+ і (D21 - D12)}/2, O2 = 6 {D11 -— D22 + j (D21 + D12)}/2. Введем полярные координаты Z1 = TJe'13' и в б-окрестностн тора запишем r; = Vа + 0^j + !,-> где Rj~(J(\). В этих координатах (1.65) примет следующий вид
