Колебания и бегущие полны в химических системах - Филд Р.
Скачать (прямая ссылка):
координат, которые показаны на рис. 1.6,6. В заштрихованной области имеется во меньшей мере одно асимптотически устойчивое периодическое решение.
Когда л'2 = 0 п у-3* 0> начало координат — это вырожденная стационарная точка, в которой якобиан имеет следующую структуру:
ГО M
Lo Oj
Пересечение поверхности коразмерности 2 в пространстве параметров, на которой происходит такое вырождение, соответствует либо переходу (4) в примере 4, либо бифуркации, описываемой теоремой 6. В любом случае в порождающем семействе плоских векторных полей появляется гомоклиническая структура, н происходит бифуркация бесконечного периода [91", 918].
у
а
Бифуркация Хопфа
Траектория седло-седло (Бифуркация бесконечного "ериода)
Рис. 1 (5. я — фазовая плоскості, системи (1.38) ИР" (у, в) = (0, 0); б — плоскості, параметров с изображением кривых, на которых происходит бифуркация Хопфа и существуют гомоклипкческие орбиты.
1.2.3. Бифуркации периодических решений
Теорема Хопфа показывает, что, когда выполнено условие трансверсальности (1.37), происходит бифуркация рождения цикла, однако эта теорема не имеет отношения к вопросу глобальной устойчивости ответвившегося решения. Этот вопрос включает как продолжение связной компоненты, которая возникает в точке бифуркации Хопфа, так и наличие или отсутствие бифуркации этой компоненты. Имеется несколько путей исчезновения ветви (она может исчезнуть при другой бифуркации Хопфа; могут произойти: бифуркации удвоения периода; появление одного илн многих новых периодов; бифуркации, при которых амплитуда илн период стремится к бесконечности) [13, 18]. Наличие бифуркаций ветвей периодических решений связано с существованием периодических или квазипериодических решений соответствующего уравнения в вариациях. Пусть y(t)—Г-перподическое решение системы (1.4). Тогда уравнение в вариациях по отношению к у (г) имеет вид
dt/dt = fx(v(t), p)l = A(t, р)1 (1.39)
где А — это Г-перноднческая матрица. Любое решение этого уравнения имеет представление \(t) = X(t)c, где с — постоянный вектор, a X(t)—фундаментальное решение системы (1.39). Таким образом, X (і) — матричное решение системы
dX/dt = А((, р)Х і !.їй)
столбцы которого линейно независимы. Мы будем рассматривать только те фундаментальные решения, для которых X(O)=I, и поэтому l(t) = X(OS(O). X(t) обладает тем свойством, что X(t + T) = X(I)X(T), следовательно, 1(пТ) = = Х(Т)"1(0). Матрица X(T) называется матрицей монодромии, и ее собственные числа называются характеристическими мультипликаторами системы (1.39). Очевидно, что если все мультипликаторы по величине меньше единицы, то 1(пТ)— О прн п->-оо. Однако это никогда не выполняется для автономной системы, поскольку если у(/)—это Г-псриодическое решение системы (14), то у'(г) —периодическое решение системы (1.39). Таким образом, X(T) имеет хотя бы один мультипликатор, равный единице.
Теория Флоке [430] приводит к представленню -Ч') — = P(t)exp(RI), где P(t) — это ^-периодическая матрица, а постоянная матрица. Собственные числа р матрицы R называются характеристическими показателями, и с каждым из ш:\ связано хотя бы одно решение системы (1.391. имеющее вид
Глава 1. А', Отмер
ittt) Міеішоднческіїя функция. Мультипликатор X свя-гшшй с и рапе" 11 1^'1'<° означает, что |Х|< 1. Гак K-IK(I 41) не меняется при подстановке/>(/)—р(/)ехр(—2ліг/Г), ,, л- 2лі77' то мнимая часть ц определена лишь с точностью то -Ьпі/Т дчи произвольного целого п. Периодическое решение V11) устойчиво, если Rep, S=O, а решения с Re р;= 0 полу-просты и асимптотически устойчивы, если Rcu,<0 для всех показателей, кроме одного, связанного с у'(/). Когда имеется показатель с нулевой действительной частью, начальные условия можно выбрать таким образом, что решение системы (1.4) примет вид
x(i) = Y(() + p(l)<"'lln|'' + члены высших порядков (1.42)
Если Im н = 2д///нГ, где /, me Z и (/,/«)= I, то возмущающий член тГиернодичен. Таким образом, частота колебаний при движении вдоль орбиты в т раз выше частоты колебаний возмущенного члена, и говорят, что эти два движения находятся в резонансе. Так как соответствующий мультипликатор равен е.чр(2лі7//и), имеется плотное множество точек на единичной окружности |Л|=1, в которых могут иметь место резонапсы. Далее будет видно, что имеется значительная разница между так называемыми сильными резонансами, для которых либо / = 0, а //і любое, либо / ф 0, а т = 2, 3, 4, и слабыми резонансами, для которых т > 5. Когда Imp равно иррациональной доле от 2л/7\ частоты потоков на периодической орбите и возмущающих членов несоизмеримы и первые два члена в (1.42) представляют квазнпериодическне функции. Так как эти члены определяют поток на Р, можно ожидать, что, когда пара показателей р пересекает мнимую ось, происходит бифуркация рождения инвариантного тора из периодической орбиты. Это оказывается справедливым при выполнении определенных условии невырожденности, однако данный случай н резонансные случаи проще анализировать с помощью отображения Пуанкаре.
