Колебания и бегущие полны в химических системах - Филд Р.
Скачать (прямая ссылка):
Если X — векторное поле, определенное на MsR", то локальной секущей поля X при х* є M называется такое подмногообразие 5 с= M коразмерности 1, что л-* є S и при всех л cs S Х(х) не касается S в х. Если Г — это периодическая орбита, мы можем выбрать на Г точку х* и п — 1-мерную гиперплоскость, ортогональную к j(x*,p) в х*. Очевидно, что решение, проходящее через х", вернется па S через время Т, и из непрерывности потока следует, что точка из окрестности .VgS вернется на S через время т(дг), близкое к Г. Это определяет
отображение G: называемое отображением наследования
чиец цианкаре Выберем начало координат ц иа нем рекуррентную зависимость, задаваемую с поїде
Уп+і = 0(уп, p) = i(p)XJa + piUai р) (1.43)
где F(у, р) ~О(\\у\\*) для H^II-»-0. Эти рекуррентные соотношения задают локальный дискретный поток цп на S1 определяемый «-кратной композицией:
<tn («/o. P) = О ° G о ... G (ід,, р) в G" (й, р) (1.44)
для neZ, таких, что (p„(yu, p)esS. Точка y'tsS, для которой //* = G(y',p) (т. е. Ц»(у*, р) = у* для всех п), называется ие-подвижной тонкой отображения G. Неподвижная точка устойчива, если при заданном е > 0 существует 6 > 0, такое, что |1ер«(г/о) — У*\\ < к, когда lli/o — У*!! < б. Оиа называется асимптотически устойчивой, если она устойчива и Hmn ||<р„Oy0) — —//* II = 0, Легко видеть, что у' асимптотически устойчива, если собственные числа матрицы L лежат внутри единичного круга, и неустойчива, если хотя бы одно собственное значение по модулю больше 1. Более того, свойства устойчивости точки у = 0 как решения уравнения (1.44) совпадают со свойствами устойчивости порождающей периодической орбиты у(() как решения уравнения (1.4), поскольку п—1 собственные числа матрицы моиодромпи X(T), которые не связаны с у'((). — это собственные числа L [445]. Неподвижная точка называется гиперболической, если линеаризованное отображение Пуанкаре не имеет собственных значений на единичной окружности. Она называется стоком (источником), если все собственные числа линеаризованного отображения Пуанкаре имеют модули меньше (больше) единицы, и седловой точкой, если оиа гиперболична и о(L) имеет точки как внутри, так и вне единичной окружности. Теорема Хартмана — Гробмана для отображений показывает, что в окрестности гиперболической неподвижной точки дискретный поток <р„ сопряжен с потоком Jn = L" линеаризованной системы. Более того, рекуррентное уравнение с негпперболической неподвижной точкой структурно-неустойчиво, точно так же как и дифференциальное уравнение с негпперболической стационарной точкой.
Инвариантные множества дискретных потоков <р„ определяются так же, как и для непрерывных потоков, и особый интерес представляют инвариантные множества, называемые периодическими орбитами. Точка у <= S есть периодическая точка минимального периода k, если Ці(у) = У и Ч"(У)^=У для
1 =? П k. Периодической орбитой, ПрОХОДЯЩеЙ 4°^"=
днческую точку у, называется
О (у) = {У, Ч>(</), ЧГа-1 Cv)} " каждая точка в О (у)—это неподвижная точка <f*. Устоїци.
ВОСТь ОрбПТЫ определяется собственными значениями Я!
Oy, вычисленного в любой точке орбиты. По правилу дн.; чироваиня композиций
G*(у) = Оу(G""1 (у))°G»"2(у)) ¦•¦G11 (у)
,.„„ ,.,,бстпенные значения якобиана Gy в любой
О» не имеет собственных значений на единичной окружности.
' Сот же возникает вопрос о существова.......іетрпнпальньїх
неиошнжаых точек потока Фм> которые ответвлялись бы от
_0 ш P = O Для упрощения ограничимся рассмотрением отображений (7:5-5, где S сг «2. Это полностью охватывает сіу'іаіі й = 3 и обший случай, когда система сведена на цеп-траіьное многообразие. Как обычно, запишем L~U + Pl1(P). Затем повторным применением преобразования (1.43) убедимся, что неподвижные точки потока <р,„ даются уравнением
0 = (?;"-/).V + pL,;/ + O(|p|||«/||, IlуIIs)
Отсюда следует, что точка (0, 0) не может быть бифуркационной, если только матрица L"' — I не сингулярна, т. е. если только для каких-либо собственных чисел к матрицы Lo не выполнено равенство Я"1== 1. Если m равно 1 или 2, то будем полагать, что Я"' = 1 —простое собственное число матрицы Т.™. Для я» = 1 L1-L1, поэтому если (ц', L,t]} Ф 0, то из теоремы 5 следует, что (0, 0)—бифуркационная точка. Как обычно, из этого следует, что данное условие эквивалентно условию К'(р)\,,-^о Ф 0 для собственного значения, которое при р = 0 равняется единице. Как нам известно пз разд. 1.1.3, в зависимости от вида нелинейности бифуркационная ветвь может существовать по обе стороны от р = 0, по одну сторону от р = 0 либо только при р = 0. Кроме того, нетрудно показать, что при бифуркационном значении параметра происходит смена устойчивости. Нетривиальная неподвижная точка представляет периодическое решение системы (1.4), отличное от y(t), и, так как время возвращения % (у) близко к Г, когда у находится вблизи нуля, период этих бифуркационных решений близок к T для малых р Например, при р = 0в системе
dr/dt = r[p(r-\)-(r-\f] ObJdI = ZnIT
TlV^ б,,Ф>'Рка,іИя, причем и исходное решение г = I, н бифуркационная орбита имеют период T
