Колебания и бегущие полны в химических системах - Филд Р.
Скачать (прямая ссылка):
При определенных условиях потеря устойчивости всегда осуществляется при прохождении вещественного собственного числа через пуль. Очевидно, что так будет, когда матрица К симметрична, по то же получается п при менее жестких ограничениях, определяемых следующим утверждением.
Утверждение 1. Пусть ft —вещественная матрица п X
) существует вещественная симметричная матрица Н, такая, что {HKV= HK;
') если (х, Hx) ф 0 при' всех х:<= N(ZC- 7j), то собствеп-ное значение 7. вещественное и полупростое;
>) если Д —полупростая матрица и ее собственные значения вещественны, то существует действительная положительно определенная матрица Н, такая, что HK = (HKV-
Говорят, что любая симметричная маї которой гарантируется условием (1),
:чая матрица Н, существование і™ (1), симметризует матрицу
К. Если 11 положительно определена, то внутреннее произве денне <а-, Hx) = (х, х)ц определено корректно, все собственные значения матрицы К действительны и (х,Ку)н = (Kx у)н Самый простой случай —когда H диагональна, причем'все элементы положительны. Это получается, когда система п(п— 1)/2 уравнений
lhkti = h,klt, i=l.....n—l; / = / + 1.....п (1.17)
имеет решение, для которого все hi > 0. Это, конечно, требует, чтобы К была комбинаторно симметрична, т. е. чтобы было sgn k.j = sgn кц для всех пар Больше того, если такая
матрица H существует, то для любого набора индексов Л, ... ..., Ip1 1 ik =g: п, k = 1, ..., р
4«, =*','¦*',', ••• *','р С-18)
Поэтому для любого цикла должен существовать обратный цикл и веса обоих циклов должны быть равными. Указанные условия «баланса циклов» — это не что иное, как хорошо известные условия Вегшейдера [43]. Нетрудно показать, что эти условия достаточны также для существования диагональной матрицы Н, что приводит к следующему результату [453].
Утверждение 2. Необходимыми и достаточными условиями того, что матрица К снмметризуема диагональной матрицей H с элементами А,- > 0, являются:
1) sgn ki/ = sgn кц для всех пар (і, /);
2) условие (118) выполняется для всех циклов в Gs. Если якобиан удовлетворяет этим условиям, то могут происходить бифуркации лишь стационарных состояний, что связано с пересечением параметром поверхности Po, и типичные случаи описываются теоремами 5 и 6. Однако утверждение 2 дает большую информацию, поскольку цз него следует, что возврат к устойчивому стационарному состоянию на достаточно больших временах осуществляется монотонно. Таким образом, в некоторых случаях можно исключить затухающие колебания, хотя соотношения взаимности Онзагера при этом могут и не выполняться.
Если вопрос об устойчивости или о путях потерн устойчивости невозможно решить заранее с помощью теорем общего характера, необходимо вычислить собственные значення или (для малых п) проверить условия Рауса — Гурвица. Последние заключаются в том, что все собственные значения матрицы л имеют гппипательные действительные части тогда и только
Глава 1. А'. 01мер
тог.ча. когда нолож
«игельны «сем определителей Гуршіиа |3.'i3J: 1 /г5
Я, s
я„
¦*1
. 0 ~
1
A-,, Ar4 .
0
A-, A1 .
0
_0
• An _
(1.19)
Так как Н„ = кпН„_{ и Я„_, = (-1)"("" т П(X, - то случай коразмерности 1 соответствует Hi ф О для j = 1, я —2 и либо Ar,, = О, Я„_, > 0, либо k„ > 0, Hn-I = 0. Для малых п это можно сделать явно, что позволяет исследовать влияние различных типов обратных связен. Можно видеть, что при п<4 увеличение веса положительных циклов приводит к статической неустойчивости, в то время как увеличение веса отрицательных циклов дает преимущественно колебательную неустойчивость. Однако при больших п эффект отрицательных обратных связей может быть любым. Заинтересованный читатели может найти дальнейшие детали в работе [749].
1.2. Бифуркации решений, зависящих от времени
1.2.1. Эвристика, нормальные формы и теорема о центральном многообразии
Рассмотрим систему 2-го порядка:
dxldt = ах + со;/ — (х + у у) (х2 + у2)
dyldt *= — ш + ау + (ух — у) (х2 + у2) (1.20)
где а, со и у —константы. В полярных координатах система приобретает вид
drjdi — г (а — r''), dB/dt = — со -f уг2 и имеет следующие решения:
(1.21)
а = 0
г(0 = {
в (0 = в„ - со/ + (у/2) ln[(l+S е-ыу{, + з (г,)}] является точкой оифуркацк... и, когда а проходит через пуль,
IU начала координат рождается притягивающий инвариантный цикл. Действительно, орбита г = {у (;) (ytt, -COi)WeM об ладает асимптотической орбитальной устойчивостью с асиміпо тической фазой. Это значит, что г асимптотически устойчива г существует с 5= 0, такое, что lim(-*«,||<р((х0, г/о) — v(' + с) 11 = О Другими словами, решение, проходящее через любую точку окрестности Г, стремится к решению, отличающемуся от 7 на постоянную асимптотическую фазу с. Читатель может самостоятельно проверить, что для данного выше примера с равно — [°о+ (Y/2) In (1/(1 +3(rj)))]/cu, а, когда в уравнении для фазы члены, зависящие от амплитуды, обращаются в нуль, с = —9о. Возникает вопрос, насколько типичен приведенный пример для тех случаев, когда потеря устойчивости происходит колебательным образом. Для системы на плоскости иа этот вопрос можно ответить, преобразуя общие уравнения к нормальной форме. Системы более высокого порядка сначала сводятся на центральное многообразие, а затем преобразуются к нормальной форме. Мы очертим этот подход для обыкновенных дифференциальных уравнений, а в следующем разделе опишем более прямой подход, который годится для любых п H для определенных классов дифференциальных уравнений в частных производных.
