Колебания и бегущие полны в химических системах - Филд Р.
Скачать (прямая ссылка):
- Re {(T)*, 2Q (t). g0, 0) + 20 (Tj. о,. 0) + ЗС (r|, r|, fj, 0») а2 7 Re(V1K1(O)T1) +
+ 0(^) = ^ + 0(^) (1.36)
Легко показать, что d(Re Х(р))\р=0 = Re<ti*, Ki(0)t|), а это означает, что условие трансверсальности
-^-(ReMp))l,_0#0 (1.37)
гарантирует наличие бифуркации. Это точный аналог условия, которое гарантирует рождение статического решения из тривиального решения (теорема 5). Когда C2 Ф 0, то в низшем порядке а « р'р, точно так же как это было в нормальной форме плоской системы. Более того, можно показать, что, когда справедливо условие (1.37), происходит смена устойчивости.
Теорема 9 (бифуркационная теорема Хопфа). Пусть f(x,p) — гладкая функция в окрестности точки (0, 0) є/?„><#. Предположим, что якобиан }х(х, р) имеет пару комплексно-сопряженных собственных чисел X+ = а(р)± /со(р), для которых а(0) = = 0, а'(0)ф 0, со(0) = ш0 ф 0, и п — 2 собственных числа, действительные части которых отрицательны. Если
Re(T1", 2Qh, B0, 0) + 2Q(fj, а,, 0) + ЗС(т), П. П, 0))ф0
то с точностью до произвольного сдвига фазы имеется единственное отличное от константы малоамплнтудное периодическое решение, которое существует в односторонней окрестности точки р=0. Амплитуда этого решения пропорциональна р1/2, а период Т(р)=2л/т(р) при р = 0 равен 2я/со0. При р = 0 происходит обмен устойчивостью между стационарным состоянием н ответвляющимся периодическим решением.
Впервые данную теорему сформулировал и доказал лопф Н67) для аналитических систем. В настоящее время сформ\-л"Роваио много вариантов этой теоремы, и заинтересованный ч"татель отсылается к [629, 446] за деталями, связанными с применением и обобщением для систем бесконечной размер И0СТ11. Вывод теоремы, который мы здесь кратко изложили,
г^ Глина 1. А'. Отмер
„noieiaii Юдовпчсм п .мі пригоден для уранпеппп н част-
ных нронзвошых, когда функция Грпна уравнения (UA) вполне опредсіена В частности, он применим к параболическим системам, которые возникают в моделях реакцнп-диффузип при описании образования структур.
Пример б. Данный пример иллюстрирует анализ двумерных систем и показывает, каким образом периодические решения могут рождаться из петли сепаратрисы, идущей из седла в седло. Эти системы возникают в задачах о распространении волн в реакционно-диффузионном уравнении [750]. Рассматриваемые уравнения имеют вид
dx/dt = і/, dyldt = - g (х) + (ух -6) у (1.38)
где g(.x) = (л'і — л-) (л- — .V2) (.V — д;і) її у. й ^ 0. Выберем X1 (/ = I, 2, 3) так, чтобы выполнялось условие
J g (x)dx < \ g(x)dx
Стационарные точки системы (1.38)—это (xi, 0), где (.Vi, 0) и (л-3,0) —седла при всех значениях у и б, в то время как (.V2,0) может быть либо узлом, либо фокусом. Если (1.38) переписать в системе координат и = (.v — д-.,, у) т с началом в (.V2,0), то
du/dl = К(р)ч + Q (и, р) + С (и, р)
Г0 in
где Kip) = ] , .
L — A ,A2 ух, — 5 J
Q (", P) = ( °
и ^SSX1-. Xi< д, = _ ^
Точка (л2,0) является фокусом, когда (у V2 — б)2 < 4.A1A, и она становится неустойчивой, когда б становится меньше чем ух2 Поэтому условие трансверсальности (1.37) оказывается он елеНляюТ,М " "Р<ж«од"т бифуркация. Вычисления, которые SuJT "а"равлсш'е бифуркации и устойчивость бпфу жадных 7"°Д1"!еск"х Рсше»"". можно выполнить, при „„„и-
таком выборе ' °Д"аК0 ДЛИ "1ЮСТ0ТЫ ВЬ,бЄрЄМ <°- '-3)- "I»'
ГО ОТ LO Ij
где р = ух2 —6, Таким образом, <o0 = V2, Ti1 = O, «'V2)r, л* = (1/2, /V2/4)r, а„ = (-1, Of, 0,, = 1(-1-V2 Yi1 ' 4у -— 2л/2і)г. Поэтому
Re {(л', 2Q (л, a,,, O) + 2Q (fj, а2, O) + ЗС (п, Л, Ч, О))} =
= -Зу/4 — 1/6 < О
при всех у 0. Следовательно, C2 > 0, и когда р становити больше нуля, рождается устойчивое периодическое решение.
Глобальное поведение этой ветви решений можно установить, заметив, что при (у,6)=(0,0) система (1.38) выводится из гамильтониана
И (х, я) = tf/2 + $ В (х) dx = i/l2 - х</4 + 4*3/3 -
Поэтому при (у, 6) = (0,0) существуют гомоклиническая орбита, представляющая петлю сепаратрисы седла в начале координат, и однопараметрнческое семейство замкнутых орбит, окружающих (х2, 0) (рис. 1.6, а). Так как для (1.38)
d{dyldx)ldb = —l, d(dyldx)/dy = x
то увеличение б поворачивает векторное поле по часовой стрелке, в то время как увеличение у при положительных X поворачивает его против часовой стрелки. Отсюда следует, что существует проходящая через начало координат кривая 6 = 6(у), на которой существует гомоклиническая орбита. Устойчивость этой орбиты можно определить с помощью следующей леммы.
Лемма [20]. Пусть (xi,x2)— седловая точка системы. Положим, что сепаратриса образует гомоклнннческую орбиту. Если
Sp(M*!. х>)) > 0 (<0), гомоклиническая орбита неустойчива
(устойчива).
Для системы (1.38) след якобиана Sp/., в начале координат равен —б, и, следовательно, гомоклиническая орбита устойчива. Аргументы, основанные иа вращении векторного поля, показывают, что при любом фиксированном значении у, когда й при своем увеличении пересекает б(у), происходит бифуркация рождения асимптотически устойчивого периодического решения из гомоклпипческой орбиты. Конечно, когда б стремится сверху к 6(у), период этого решения стремится к бесконечности. Так как решения, бифуркация которых происходит при б — ух,, также устойчивы, должно существовать нечетное число (либо-ни одного) неустойчивых периодических решении ДЛЯ є(°(ї),ух2). Вычисления показывают, что в данном интсн"'-таких решений нет. Это определяет положение двух : кационпых кривых в достаточно малой ,^честности у.
