Колебания и бегущие полны в химических системах - Филд Р.
Скачать (прямая ссылка):
dx/dt = K0X + F1 (х, у, р) (i.29>
dy/dt = КіУ + F2 (х, у, р) .., . „iW \_п Инияпиантное многообразие мо-
рде G(K0)= Ou a a(K^-J*_Zv(l™) где V определяется жет быть записано в виде у — ЧГ(х, р), іде -г v
Глаиа I. X. От,
мер
-г
р<о р = о P > о
Рис. 1.5. Центральное многообразие и изоклины системы (1.31) при />, близком к нулю
вторым уравнением. Первое уравнение сводится затем к
dxldt == K0X + F1 (.V, Ч' (.с, р), р) (1.30)
В случае когда Oi состоит из пары чисто мнимых собственных значении, центральное многообразие двумерно и (1.30) можно привести к нормальной форме типа (1.25). Можно также показать, что для достаточно малых р устойчивость (неустойчивость) бифуркационного периодического решения на многообразии ЛІ і означает устойчивость (неустойчивость) решения полной системы [685], Таким образом, нз рассмотрения двумерной системы, описывающей поток на р-сечеинн центрального многообразия, можно получить существенную информацию об устойчивости н бифуркациях.
Пример 5 (построение центрального многообразия). Рассмотрим систему
C)-IS ло+Г"-;1")
(1.31)
Для построения центрального многообразия рассмотрим решение уравнения
в виде
Легко убедиться, что
dyjdx = (— у - х-)1(рх — ху — 2г') ¦xY(x, p)=Z akxk + RN(x)
У = -
Эта кривая, а также пзокл:
Р"с. 1.5.
лины уравнения (1.31)
показаны па
Чтобы показать,
ы показать, что центральное многообразие притягиваю щее запишем l = x, t = j,_ у (*,„). Тогда уравиени Ш приобретает вид v-oi)
dg/d/ = pi -1 (T1 + у (I, p)) - 2|3 dS/d/ = r/-4'{| = _j
Поэтому E(/)=e-'t(0) н y = w(x,p) асимптотически устойчивы.
1.2.2. Прямой подход к бифуркационной теореме Хопфа
Хотя теорема о центральном многообразии является полезным инструментом для теоретических целен, сведение системы на центральное многообразие включает громоздкие вычисления, и часто более предпочтительным оказывается прямой подход для нахождения величин, определяющих направление бифуркации и устойчивость рождающихся решений. Одни из подходов состоит в том, чтобы переформулировать уравнение в операторный вид в пространстве 2л-перноднческих решений, а затем редуцировать это уравнение по методу Ляпунова — Шмидта. Без потери общности мы можем считать, что р0 = 0, и записать К(р) = Ко + рК\ (р), где Ко имеет простую пару мнимых собственных значений ±/соо, а все остальные значения спектр: а(Л'о) лежат в левой полуплоскости.
Пусть Г| и fj—собственные векторы, соответствующие ±1С0э, н пусть і)* и fj* — соответствующие собственные векторы сопряженной матрицы Ко- Они могут быть нормированы так, что <ry*, Ti)=I и <fj*, г|> = 0, где <,) —это обычное евклидово внутреннее произведение в пространстве С". При р = 0 уравнение
CUiIdI = KdU (1-32)
имеет периодические решении ехр(і(о0/)ц и ехр(—1ID3IJt), которые дают главные члены для построения периодических решении нелинейного уравнения. Обычно частота решении последнего не равна со0, поэтому мы введем сдвиг частоты, janncae ш = coo + со,. Если перенормировать время, приняв • т - юг, то соответствующее уравнение будет таким:
/ . СІП TS
L0U = со0 -JJ- — K0U =
= р/С, (р)н+ Q(«. и, р)+ С(и, и, и, р)+ R(u, P) (1•W» Здесь Q и С-симметричные однородные б-~ыеын трилинейные (соответственно) формы по и 3JV1x решении.
Так как оператор L0 имеет пару ^""X?, "ні'с (1 33) с по-он сингулярен і необходимо расщепить уравнение и о >
Глапа 1. -V. Oiмер
как
Pu = I)1
где
МОЩЫо метода JhU1V11OBa-UbHKTTa. Определим проектор P
I)
Топа и можно разложит., па N(L0) п на дополнительную чаем., записав и в виде н = Ри + (1-Р)н = и, + п2, где
я—неопределенная действительная амплитуда. Действуя оператором (/-P) па (1.33) и разрешая полученное уравнение относительно H2 (т), будем иметь
,,, (Т) = J G (т - S) [ - W1 •^- (H1 + «•¦) + Mi (P) (щ + U2) +
U
+ Q(U1 +и,, и,+ 42, />) +
+ С (U1 + U2, Н, + U2, H1 + H2- P) +
+ R(Ui +и,, p)}ds где c?(T-s) = -~ ? (K0-WCO0/)-' e«'<t-*> (1.34)
її = - Су
п?ь±1
— это обобщенная функция Грина оператора L0. Так как функция /(л-,р) — гладкая, то из теоремы о неявной функции следует, что H2 принадлежит классу Ск по сої, р и а при любом ft Ss О и, значит, она может быть разложена в ряд: *
В низшем порядке находим
"з (т) = (а_,е-^ + Ci0 + а,е2«) а=
ГДС e-i=-^o + 2/Vr'Q(ti, ті, O)
"0=-2^(4,4,0) (,i35)
*-=-(AC0-2to0/r'Q(ii, T1, 0)
а) ^ + "в <П-. *, (0) Л> + "3 «V. 2Q („. „„, „) +
+ 2Q (ті, а21 0) + ЗС (г,, ,,, fj, 0))} + .. . = о
Математические вопроси исследования колебаний
51
Разделяя действительные н мнимые част /-'/и, имеем pRe(n, K1(O) Ч) +A2Re «г,-, 2QO1, (?, 0) + 2Q(fj, O21 О) +
+ ¦3C(л, л, fj, О))} + ... =о щ + /Ят(ц, /C1(O)Ti)+ a2 Im {...}+ ... =о
Из второго уравнения следует, что его можно разрешить относительно Wi = (Oi (а2, р), и это позволяет исключить «л из первого уравнения. Следовательно, когда Re<t|*, K1 (0)цУ ф O1 теорема о неявной функции гарантирует, что решение р = р(аг) существует и в низшем порядке определяется выражением
