Колебания и бегущие полны в химических системах - Филд Р.
Скачать (прямая ссылка):
Как отмечалось ранее, точки, являющиеся притягивающими в смысле, который мы сейчас определим точно, представляют особый интерес, поскольку с ними связано асимптотическое поведение системы. Множество iV называется окрестностью множества AczM, если имеется открытое множество G с: N, такое, что \<zzG. Пусть Л — непустое замкнутое инвариантное подмножество множества Al Область притяжения множества Л — это множество А (Л) ?= {х е Al IL01 CZ Л}. Л является аттрактором, если А (Л) — это окрестность множества Л и Л содержит плотную орбиту. Л устойчиво, если любая окрестность U множества Л содержит окрестность V, такую, что ср, (V) с: U при t Є R+, и Л асимптотически устойчиво, если оно устойчиво и является аттрактором. Например, если Xs — стационарная точка системы ~ k t-кДчестве окрестности можно взять область {х s Rn[Wx-•НІ < 6}. Тогда xs — аттрактор, если существует такое б>0, что прИ всяком хщ удовлетворяющем условию [|л-(0)-х*||< fi™',!'!!V"*'**('l!=,f ¦ Далсе. точка х устойчива, если при любом заданном в > 0 существует б > 0, такое, что \\x(t)-x\\ < г ZLf^lT" 1K0^IKo; точка х асимптотически устой-в ем асймптоат,УС10''Ч,'Ва " >™<-*W = x*. Достаточным усло-^Sr^S,"BKI" XS ЯВЛЯСТСЯ отрицатель, биана UxS) Um * °" ВСсх собственных значений яко-точки называются хакжп""™"'460™., Устойчивые стационарные Ров-это стацнонаш Г. ВДЩ Простейшие типы аттракто-перноднческ^ ?ешеГя ,Г™' пеПи°Д»«ск,,е решения, квазитракторы обычно «mLLTI»™"™™ Т°1,ы- Все ДРУГИ° ЗТ' Пример 3 1811 р и, данными аттракторами. I Рассмотрим систему на плоскости
drld,=r(i~r)t d9/rf/ = sin2(e/2) (1-9)
Maчсма пек сын' попроси исследования колебаний
35
Рис. 1.1. Фазовым портрет системы (1.9).
В ней имеются стационарные состояния (/¦,0) = (0,0) и (1,0), а кривая г = 1 инвариантна относительно потока. ы-Предель-ным множеством любой точки, отличной от (0,0), является (1,0). Поэтому (1,0)—аттрактор; однако он неустойчив. Фазовый портрет этой системы показан иа рнс. 1.1. Орбита г — 1 называется гомоклинической. Это означает, что а- и ы-пре-дельпые многообразия данной орбиты представляет одна н та же точка, а именно (1, 0).
1.1.3. Структурная устойчивость и бифуркации векторных полей
Один из способов экспериментального изучения систем состоит в том, чтобы изменять один нлн больше контролируемых параметров H следить за тем, как меняется асимптотическое поведение системы. Обычно малые изменения параметров приводя,' лишь к небольшим количественным изменениям поведения си стемы. Однако при некоторых особых значеннях могут возникать новые стационарные состояния пли стационарное состояние может потерять устойчивость и возникнет режим периодических колебаний. С теоретической точки зрения задача состоит в том, чтобы классифицировать векторные поля, лежащие в основе наблюдаемой динамики, и, исходя из их фазовых портретов, выделить различные топологические типы, а также описать все возможные переходы, которые могут происходить между разными типами. Некоторые из простых переходов будут описаны в данном н следующем разделах. Рассмотрим системы
для .V, Ij с= У?„ и положим, что они удовлетворяют общим требованиям предыдущего раздела. Пусть O(.v0) и О(у0) обозначают орбиты этих систем. Мы скажем, что фазовые портреты (A) и
(А) (В)
dx/dt = f(x) dy/dt = g (у)
(1.10)
О*
Гj]ana I. А'. Отмер
im топоюгически эквивалентны, если существует гомеомор-ЬIII (Т™мно однозначное непрерывное в обе стороны ото срнзм (в.анмт д который отображает ориентированные ±!L.,IW : оппентшюванные орбиты систем,,, (В)
¦ІЄ
ые орбиты системы (В),
орбиги системы (Л) в ориентирован те ес-ш J1 = (I(Ji), то Л0Ы=0(А(Л)). Говорят, что нек-орные'иоля эквивалентны, если их фазовые портреты топологически эквивалентны, и это определяет отношения эквивалентности на множестве ХШ) векторных полей на M Обычно топология на Х(Al)-это топология С Унтнп (k ^ I) [1], что позвотяет определить окрестности для данных векторных полей. Когда говорят, что поле X є % (M) структурно-устойчиво, это означает, что имеется открытая окрестность поля X, такая, что каждое Y в этой окрестности эквивалентно А'.
При таких отношениях эквивалентности наиболее просто классифицировать линейные системы х = Ах, где А — постоянная матрица размерности п X п.
Теорема 3 [23]. Необходимое п достаточное условие топологической эквивалентности фазовых портретов двух линейных систем на R„, при условии что все действительные части собственных значений не равны нулю, состоит в том, чтобы число собственных значений с отрицательной действительной частью было одинаковым в обеих системах.
Так как собственное значение, лежащее на мнимой осп, может сместиться в левую или правую половину комплексной плоскости при малых возмущениях элементов матрицы А, то единственными (структурно) устойчивыми линейными системами являются такие, которые не имеют собственных значений на мнимой оси. Таким образом, указанная теорема приводит к разделению подмножества линейных векторных полей в X(M) на структурно-устойчивые типы. Например, линейные системы на плоскости, для которых
