Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Химия -> Филд Р. -> "Колебания и бегущие полны в химических системах" -> 18

Колебания и бегущие полны в химических системах - Филд Р.

Филд Р. , Бургер М. Колебания и бегущие полны в химических системах. Под редакцией д-ра физ.-мат. наук, проф. А.М. Жаботинского — M.: Мир, 1988. — 720 c.
Скачать (прямая ссылка): fluctuations-and-waves-in-chemical-systems.djv
Предыдущая << 1 .. 12 13 14 15 16 17 < 18 > 19 20 21 22 23 24 .. 275 >> Следующая


Положим, что плоская система с гладкой правой частью и стационарной точкой Xs записана в виде

du/dt = K(P)U + Q(и, р)+ С(и, р)+ ... (1.22)

где К(р) — якобиан / в точке -Vs, a Q и С —однородные полиномы по и степени 2 и 3 соответственно. Положим, что для р, близких к Po, К(р) имеет пару комплексно-сопряженных собственных значений }\±(р)= а(р)± i'co(p), где ct(p0)=0, a ы(ра)ф 0. Пусть г, = T)I + i't)2 — собственный вектор матрицы К(р), отвечающий 1K+. Тогда замена переменных и = Рг\, где Р — матрица, столбцы которой —это п., и приводит линейную часть (!.22) к канонической форме

[а —со 1 со а J

р-'КР = \ I (1-23)

Для того чтобы привести нелинейные члены к «нормальной форме», которая непрерывно зависит от р для р из окрестности Po, введем замену переменных

где Г,-однородный полином степени k по *¦ JHaoK^K "™а! порядке это тождественное преобразование оно сох,раи»? * ионическую форму для линейных членов. Можно

Глана І. А'. Отмен

(1.25)

її ли в полярных координатах

r = r[a + g3r2 + ...] + 0(г!, Є = _ со + G3r + о (г1, 0)

(1.26)

Системы (1.25) и (1.26)—это нормальные формы до членов четвертого порядка плоской системы с комплексными собственными значениями. Очевидно, что системы (1.20) и (1.21)—это частные случаи систем (1.25) и (1.26). Если g3 не нуль, то в обрезанной нормальной форме, полученной отбрасыванием членов высшего порядка, содержится полная информация о существовании н устойчивости периодических решений, бифуркация которых происходит при (х, и, р) = (0, 0, ро) • В частности, если мы запишем а(р) = а'(р0)р + ¦. ¦, где а'(ро)?=0, то из (1.26) следует, что могут быть четыре различных случая в зависимости от знаков а'(ро) и g3. Например, если а'(ро) > 0 и g3>0, решения, существующие при р <С ро, неустойчивы, в то время как при а'(р0)>0 и g3 <. 0 они существуют при р > р0 н при этом устойчивы. Во всех случаях в точке бифуркации происходит смена устойчивости.

Принимая во внимание то, что происходит в линейных системах, можно ожидать, что существенные черты поведения '.-мерной нелинейной системы описываются некоторой ее двумерной подсистемой, если действительная часть одной комплексно-сопряженной пары собственных значений меняет знак при P = O1 а остальные п — 2 собственных значений лежат в левой полуплоскости. Это можно показать, расщепив полную систему на подсистемы второго п п — 2 порядка, которые в низшем порядке совпадают с расщеплением, определяемым линейными членами. Данное утверждение составляет содержание теоремы о центральном многообразии. Будет полезно также уметь проводить подобное расщепление для отображений, поэтому теорема формулируется для отображений. Приведенная здесь версия взята из [584].

18781 что полином Г* можно выбрать так, что I) получится VD4BHCHHC не содержащее членов нечетного порядка, п 2) члены четного порядка в первом уравнении будут иметь вид ^1+1X1 х X (4 + .V;)' - ft,+,*. (.V] + ATrI)', а во втором ?,,+,*.,(*•• ++ +G,,+1x, (Vj + х!Ї)'- Коэффициенты gk и Gk называются ляпу-новскнші величинами. Таким образом, система (1.22) может быть приведена к виду

dXi/d, = ал, + co.v, + (B3X1 - G3X11) (.Vj' + xf) + о (IU-II4) dx,jdt = - co.v, + ах., + (G3X1 + g3x,) (xj + xf) + о (|| х ІГ)

Математические вопросы исследования колебаний

—'-'-¦----- 47

(D

/?- в пространство *» с Ф(0) Л.^о^ расщепляется на часть а,, содержащую собственные значения которые лежат на единичной окружности, и часть G2 содеожа щую все остальные собственные значения, которые лежат строго внутри единичного круга. Пусть X0 — обобщенное собственное пространство якобиана Ф*(0), соответствующее а-, где dim^0= = m. Тогда существует окрестность нуля V <= Rn и в V имеется подмногообразие M класса Ск размерности ш, такое, что Al проходит через нуль и ^0-это касательное пространство к AJ в нуле. Подмногообразие M имеет следующие свойства:

1) если х є Al и Ф (л-) є V, то Ф (х) єе Al;

2) если Фя(*)єе V при л = О, 1,то Hmn^ _(ф»(х), Af)-==0, где d(x,M) обозначает расстояние между х и Al.

Чтобы применить данное утверждение к потоку, задаваемому системой (1.25), рассмотрим расширенную систему

dujdt = K(p)u + F {и, р) (1.27)

dp/dt = 0 (1.28)

где F(u,p) содержит члены более высокого порядка. Положим, что при фиксированном р0 спектр о(К(ро)) матрицы К(ро) может быть записан как о = a- U о2, где ст- — {/. є є о-(/(Ы) |ReX < — є, є > 0}, а аг = _ сг(/С(р0)) І Re /. = 0}. Спектр линейной части системы (1.27), (1.28) — это aU {O},

a может быть представлен как прямая сумма Л" $ -Л .

где собственные числа /С|/?° имеют нулевую собственную часть. Для любого фиксированного T > 0, при котором существует решение, поток фГ("о, Po), задаваемый уравнением (1.27), определяет отображение со свойствами, описанными в теореме о, и поэтому для ерг в Rn+I существует центральное многоооразне Af. Требуется еще показать, что то же центральное многообразие получается при любых 0 < s ==С Т. Сечение многообразия Al при постоянном р дает многообразие AIi _ Rn, имеющее то свойство, что ф((«о)еЛ1, при О-^^Г и ^(ф'Ы, Мі)~ТУ при *->0 для любого !/о, достаточно близкого к Al,. Іаким оо-разом, в смысле, определенном в разд. 1.1.2, многообразие M1 асимптотически устойчиво. Если (1.27) расщеплено в соответствии с расщеплением спектра, мы можем записать
Предыдущая << 1 .. 12 13 14 15 16 17 < 18 > 19 20 21 22 23 24 .. 275 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed