Колебания и бегущие полны в химических системах - Филд Р.
Скачать (прямая ссылка):
ч; і]
(1.П)
-™„1 Раздслены "а три устойчивых типа. Собственные зміеипя полиостью определяются следом матрицы Sp Л = -а-го и ее детерминантом detA = аб —fiv и все топ типа
1-2- Переходы между Й.й..иыынР™паыИ
о_\д>т оосуждаться позднее
выЛоартп««Ра™ Р-РЄІ,ИЄ АаЄТ П0ЛНуЮ ""Формацию о фазо-иелинейЇЇІ с,ст;« п'Г,,Х С"ЄТЄМ' Н0 "ого4 недостаточно для лучит н Основа, „ т?"аК° ча?тчиую ""Формацию можно по-ГеорЛЛ Hv \ ТМЫ П'обмана-Хартмаиа [418, 444]. Рема -l.lhub л ,. I удовлетворяют уравнениям
itxIdl^Ax+ F (X)1 dilute (1.12)
del А
Рис. 1.2. Разбиение плоскости след — определитель на подобласти, в которых сохраняется топологический тип соответствующей двумерной системы.
где F-функция класса С1 на {х\\\х\\ < 6} н F(O)=Fx(O) = O. Положим, что А не имеет собственных значений с нулевой действительной частью. Пусть фі(л'о) н L( (to) =е 41J0— соответствующие потоки и N0 и Mo обозначают окрестности точек х = 0 и J = O соответственно. Тогда существует гомеоморфизм Л: ¦/V0-*-Af0, такой, что Lt = htpth-' и Ii сохраняет ориентацию.
Стационарное состояние Xs системы (1.4) называется гиперболическим или элементарным, если ни одно нз собственных значений якобиана fx(xs) не лежит на мнимой оси. Суммируя, можно сказать, что линейная система с гиперболическим стационарным состоянием структурно-устойчива, а нелинейная система с гиперболическим стационарным состоянием локально эквивалентна своей линеаризации. Аналогичная формулировка теоремы Гробмана—Хартмана остается справедливой для отображений if: Лі-»-ЛЇ н для определенных классов потоков в банаховом пространстве [796].
Теперь предположим, что имеется параметризованное семейство векторных полей иа Af1 а значит, гладкое отображение т. P s RP-*%(M). Пусть S обозначает множество всех структурно-устойчивых элементов в х(.'И), тогда в = х(М)\- —
Глаца 1. А'. Отме/,
,-TDVKrviMio-McycToiViiiBbix элементов в оіношении это множество іipjIV )Р"» \ рассматривая множество
Г^(Гаре;Л«"1«ш» параметра для которых еоот-Je^UUc векторные ^^Z^^^iiZ
^Zm даГ^.Т-етра , и .« --»--н„ ,,0=От
тем CBOHCTBO.M, ЧТО = коїдч у ¦= H
ваоль некоторой кривой С, лежащей во множестве Р, ш до тех поп пока 6" не пересекает В, фазовый портрет остается топологически неизменным, но он меняется всякий раз, когда С пересекает В Конечно, заданная параметризация может п не дать все возможные типы изменения фазовых портретов, но и при этом В может оказаться очень сложным, в особенности когда число параметров велико.
Пример 4. Рассмотрим линейную систему на плоскости с матрицей А, даваемой выражением (1.11). Имеется четыре различных класса переходов между тремя структурно-устойчивыми классами.
1) I или II->HI с Sp(A)=^O
2) I-+Il с det{A)=?0
3) 1->II с det(A) = 0
4) I пли Il ->1И с Sp(/1) = 0
Первые две бифуркации называются бифуркациями коразмерности 1, поскольку подмножества множества В, на которых происходят эти переходы, —это подмногообразия пространства Rt коразмерности 1. Третий и четвертый переходы — это переходы коразмерности 2. В некотором (не очень точно определенном) смысле первые два типа более вероятны, чем два последние, поскольку а, Р, у и 6 легче выбрать так, чтобы обращался в нуль либо Sp(/1), либо det(A), чем так, чтобы обе величины обращались в нуль одновременно.
Некоторые из бифуркации параметризованных векторных полей локальны в том смысле, что качественные изменения фазового портрета локализуются в окрестности точки х*. когда P олизко к соответствующему бифуркационному значению р*. п вivnC,1has будем называть (х\ р*) точкой бифуркации яйло простейшие из таких бифуркаций соответств уют по-чег !!Юп ИЛ11 1,сч"!!0ве»»ю стационарных точек или пернодн-ваетёя BnT"", о ?ИЗИ {x*'pt)- ПослеД»ий случай рассматривает Jl. а ДСС1) жс булУт ла,ш некоторые результаты, речьбі,ФУРкаїї'стационарных точек. Для первой тео-зованиГ,^ 'Ш' «"означает ядро линейного преобра-
зования, и знаком , будем обозначать сопряжение
Теорема 5. Положим, что система (1.4) может быть зани tana и ниде
dx/dt = L0X + PL1 (р) х + F (х, р) (XXi1
где L0 и Li(P)—матрицы я X я, a F(x, р)~ это 0(||х||2), когдь ||х||->-0 при фиксированном р. Пусть нуль — геометрически про стое собственное значение L0 и пусть т)(т)*) — отвечающий этом;, собственному числу собственный вектор матрицы Lu (соответственно L0). Если
(V, LiT)) ф 0 (1.14;
то (0,0) — точка бифуркации решения Хр, и в любой достаточно малой окрестности точки (0, 0) существует единственная кривая нетривиального решения (x(s), p(s)), обладающая тем свойством, что (x(s), p(s) )->-(0, 0) при s->-0.
По существу, это вариант теоремы Крэндалла и Рабиновича [185], сформулированный для Rn. Условие невырожденности (1.14) означает, что собственные значення матрицы Lo + pLi(p), обращающиеся в нуль при р = 0, пересекают мнимую ось с ненулевым наклоном. Сформулированное \івеі>жде-
P -¦
P = о
Рис. 1.3. Изменения локального фазового портрета при бифуркации исходного решения. а-<п*, 0(i|, 0))^=0; 6-0]*, <?(>]¦ 0)) = 0, <ч*. C(t\, 0))^=0. Q я С. — однородные члены разложения F(Jt1 р) степени 2 и 3 соответственно, л -- амплитуда решения вдоль вектора т).
