Колебания и бегущие полны в химических системах - Филд Р.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 1.4. Изменения фазового портрета в точке поворота. Xo не является ста-цкопарной точкой при р < 0.
ние не дает информации о том, существуют ли решения с одной или по обе стороны от точки р = 0. Для этого необходимо вычислить (ті*, F(Tb 0)>. Анализ спектра якобиана вдоль нетривиальной ветви решений показывает, что когда стационарное состояние меняет устойчивость при р = 0, то при этом значении параметра происходит обмен устойчивостью между тривиальным и бифуркационным решениями. Все типичные варианты локальных фазовых портретов представлены на рис. 1.3. Каноническими типами на R\ являются для а уравнение х = = х(р — х), а для б уравнение х = х(р — х2).
Во многих задачах f(x,p) = 0 в точке (xq, р0), но не в любой окрестности этой точки. В частности, в ней может не быть до-критического решения, такого, как нуль в предыдущем примере, и если (хо, Po) — точка бифуркации, то в ней происходит внезапное возникновение или исчезновение пары действительных решений.
Теорема 6 [540]. Положим, что /(.V0, р0) = 0 и якобиан М*о, Po) имеет ранг п—1. Положим, далее, что матрицы
^1-K*.....f{r\f,M (1.15)
в которых fxl) — это г'-й столбец матрицы fx (все производные вычисляются в (хо, Po) и имеют ранг п). Тогда существует единственная кривая решений, проходящая через (хо, Po), и эти решения существуют только при р > Po или р < Po соответственно тому, меньше или больше нуля det/Vfi/detMo-
Локальные изменения фазового портрета, происходящие при этой бифуркации, показаны на рис. 1.4.
1.1.4. Некоторые общие утверждения об устойчивости стационарных состояний
Теорема Хартмана подразумевает, что локальные изменения топологического типа фазового портрета вблизи стационарной точки происходят, только когда собственное значение якобиана
Математические вопросы исследования колебаний
41
приближается к мнимой оси или пересекает ее. Возникают следующие вопросы: 1) какие структурные свойства механизма устраняют такие неустойчивости и 2) как зависит тип неустойчивости от структуры сети? Чтобы рассмотреть эти вопросы, положим, что в системе (1.2) имеется стационарное состояние с* ^Rn, и вблизи него выпишем линеаризацию (1.2)
dl/dt = Ki (1.16)
Здесь К — vEdP(ds). Графом чувствительности Gs матрицы К назовем ориентированный граф с п вершинами, которые поставлены в соответствие с п компонентами вектора Jj1- и ориентированными ребрами, соединяющими пары (i, j) с теми / и /', для которых k/i ф О, и имеющими веса, равные ftp. Циклы на Gx определяются так же, как были определены циклы на G, а вес цикла определяется как произведение весов составляющих его ребер. Нетрудно убедиться, что все циклы графа G дают циклы н Gi, но G,, может иметь и много других циклов. Он, например, содержит циклы длины 1, которые соответствуют диагональным элементам ku. Будем говорить, что частицы / активируют (нн-гибируют) частицы і в стационарном состоянии cs, если > О (<0). Диагональные члены представляют самоактивацию (автокатализ) или самоингнбироваиис в зависимости от того, ka > 0 или ku <. 0. В дополнение к прямым взаимодействиям, мерой которых являются ka, существуют и косвенные взаимодействия между веществами посредством ориентированных путей длины, большей 1. Два пути, один от і к /, а другой от / к /', образуют петлю обратной связи. Такие обратные связи будем называть положительными или отрицательными в соответствии с тем, положителен или отрицателен вес цикла.
Собственные значения матрицы К — это корни характеристического уравнения
P(A) = A/1 + a{ka~x + ... +Un^Q
где а, —это значение (—1)', умноженное на сумму всех главных миноров порядка / матрицы К. Когда имеются инварианты, К автоматически оказывается сингулярной, однако нулевые собственные числа соответствуют трансляции симплекса. Мы будем полагать, что либо таковых нет, либо они уже исключены. В общем случае с* зависит от р, поэтому от р зависят « собственные значения. Мы говорим, что матрица устойчива, если все ее собственные значения имеют отрицательные вещественные части, и будем называть подмножество Ps пространства параметров, где это выполняется, областью устойчивости стационарного состояния с*. Из предшествующего раздела мы знаем, что граница P0 множества Я, содержится в В и что с%
Глава I. X. 0тмеі,
они приводят к бифуркациям коразмерности 1. Объединение' первого типа обозначается как Po, а второго — как P11,.
В некоторых случаях структура сети такова, что матрица К устойчива при всех ре Р. Будем говорить, что К знаково-устой-чиеа, если матрица Ко, полученная из К заменой ki, на sgn(?,7)„ устойчива.
Теорема 7 [640]. Положим, что граф G5 сильно снязан и что все 1-цнклы матрицы К отрицательны. В этом случае К зна-ково-устойчнва тогда и только тогда, когда
I)' каждый 2-цикл в Gs имеет неположительный вес;
2) не существует р-циклов с ненулевым весом для р 3. Условие отрицательности 1-циклов может быть заменено уело- , внем неположительности за счет потерн гораздо более важного ' утверждения о необходимом и достаточном условии [495]. Хотя эта теорема в некоторых случаях оказывается полезной, она не настолько сильна, как это может показаться на первый взгляд, [ поскольку нарушение ее условий лишь означает, что имеется ! множество элементов ku, для которых К неустойчива. При заданной нелинейности H диапазоне параметров, связанных с конкретной задачей, это множество может быть, а может н не быть достижимым.
