Теория вероятностей и случайных процессов - Тутубалин В.Н.
ISBN 5-211-02264-5
Скачать (прямая ссылка):
а = 1/2М82«С?2, с>0, (2)
что и требовалось доказать. (Коэффициент с в (2) в принципе может быть выражен через статистические характеристики случайного процесса 6(0 — математическое ожидание, если оно отлично от нуля, и корреляционную функцию).
3.4. Пуассоновский процесс. Теперь рассмотрим простейший марковский процесс с непрерывным временем. Построим математическую модель для числа ?(0, Т) частиц, зарегистрированных счетчиком радиоактивного излучения за время (0, Т). Если
0=ti<(2<... <tn=T,
то
6(0, Т) =6(0, /,)+ 5(*i, t2)+ ... +5(/n+i, tn), (1)
причем естественно считать, что различные слагаемые в сумме (1) статистически независимы. Сумма (1) не приводит обязательно к нормальному закону, так как при измельчении разбиения отдельные слагаемые в ней также изменяются (при очень малых длинах интервалов (/,-, /,+1) большинство слагаемых в сумме (1) вообще равно нулю). Между тем центральная предельная теорема относится к сумме возрастающего числа одинаково распределенных величин.
Увидим, что для суммы (1) получится распределение Пуассона. Рассмотрим для п=0, 1, 2,... вероятности
Рп(Т) = РШ Т)=п).
Дадим Т небольшое приращение АТ. Понятно, что за малое время АТ может прибавиться, самое большее, одна частица. Если средняя интенсивность счета есть Л, то
Р{|(7, Т+АТ) = 1}=ЛД7+о(Д7),
Р{5(7-, 74-Д7) =0}= 1—(ХД7’+о(Д7’))1
а вероятность
Р{5(7\ 7+Д7’)> 1}=о(Д7’).
Поэтому
р = {6(0, Т+АТ) =0} = Р(5(0, 7") =0} • Р{|(7, 7'+Д7’),=0} =
246
= Р{1(0, 7)=0}(1—аД7+о(Д7)}).
Следовательно, для Ро(Т) = Р{!(0, 7')=0} получаем уравнение
Ро(Т)-----W). (2)
Для рп(Т) при пФ0 получаем
рЛТ+АТ) =рп(Т) (1-{ХАТ+о(АТ)}) +
+Pn-i(T) (ХАТ+о(АТ)),
откуда
РЛХ) = - ><Рп(Т) + >Рп-1{Т). (3)
Решая (2) с очевидным начальным условием р0(0) = 1, получаем
Ро(Т) =ехр(—XT). (4)
Подставляя (4) в (3) прн п= 1 и т. д., получаем (если угодно — методом вариации постоянной)
Рп(Т) = -^р-ехр(— ХГ).
п!
Таким образом, распределение величины 1(0, Т) есть распределение Пуассона с параметром XT.
Процесс 1т=1(0, Т) называется пуассоновским процессом с параметром X. Его конечномерные распределения определяются условиями:
I) 1о=!(0, 0)=0;
2) разности It. — g, = l(fi_i, /,) —независимые пуассо-
новские случайные величины с параметрами >.(<г — //_|). Реализация процесса Пуассона есть кусочио-постоянная функция, которая в случайные моменты времени прирастает скачками, высота которых равна 1.
Рассматриваются также более общие пуассоновские процессы, траектории которых прирастают скачками в те же моменты, что и траектория процесса Пуассона, но величины этих скачков случайны (независимы друг от друга) и имеют заданное распределение вероятностей.
§ 4. Марковские диффузионные процессы
4.1. Основные понятия. Если не в физике, то в математике возможно такое движение, при котором абсцисса
247
x(t) движущейся точки за время At изменяется на величину порядка УДt (см. в гл. 5 винеровский процесс). Такой способ движения прямо противоположен рассмотренному случаю гту-ассоновского процесса, когда траектория изменяется скачками. В то время как обобщенный пуассоновский процесс называется скачкообразным, процессы типа винеровского называются диффузионными. (Случай, когда x(t) за время Дt изменяется на величину порядка At, в марковских процессах невозможен, если не заниматься тривиальным случаем детерминированного процесса.)
В рамках теории диффузионных процессов достигается некая вершина развития корреляционной теории: для полного описания распределений вероятностей оказывается достаточным знания лишь математического ожидания и дисперсии приращения Ax(t) =x(t + At)—x(t) для малых At (если процесс x(t) многомерный, то надо включить и ковариации приращений отдельных компонент).
Рассмотрим (для простоты — в одномерном случае) соответствующие определения. Пусть имеется марковский процесс x(t), t>-0, переходные вероятности которого обладают следующими свойствами.
1°. Для любой точки х фазового пространства X=Rl
Р1+*{х,ЩГ)) = о( А) (А —*¦ 0) (1)
для любого е>0, где Ое(х) означает е-окрестность точки х:Ош(х)={у : \у—*|<е}.
Свойство 1° означает, что вероятность выхода
за время от t до t + Д из точки х за пределы любой ее фиксированной окрестности есть о(Д), т. е. отношение P<+a(jc, Ot(x))lA —<> 0 при Д —* 0« Вероятность, задаваемая переходной функцией, может пониматься и как ус-
ловная вероятность при условии, что x(t) = x:
P't+*[x, ВД = P{x(f + Д)(Е = х).
2°. Для любой точки x^X=Rl, полагая Д*(<)¦*
=*(f+A)—x(t), имеем следующие соотношения:
