Теория вероятностей и случайных процессов - Тутубалин В.Н.
ISBN 5-211-02264-5
Скачать (прямая ссылка):
что при |а|-Ю, где |а| =шах (/+,—/,) выполняются такие
t
предельные соотношения:
Iе. вР,\+' (*. Ot(x)) - о (ti+i - *,). ? > 0;
2®. j (У — х) aPl( (х, dy)— fl(f|, х)( + 1 — /()-{-
+ о ( */+I — *l);
17»
259
f (У-х)\р';+1(х, dy) = o*(tl, x)X
|y-x|^e
X(</+1-/,) + o(f/+1-fl).
В этих соотношениях a(tx) и o2(f«, x) — это коэффициенты сноса и диффузии для диффузионного процесса; что же касается выражений вида o(/,+i—/,), то будем считать, что их отношения к f,-+1—tt равномерно стремятся к нулю при |а|-Ю относительно любых переменных, от которых выражения o{ti+1—ti) могут зависеть (a, U, х). Коэффициенты a(ti, х) и a2(ti, х) предположим равномерно ограниченными.
Введем оператор aQj формулой
«$/(*) = j dy)f(y).
—'ОО
Теорема перехода А. Н. Колмогорова. При
I а |->-0
sup — aQof(x) | -» О,
.V
для любой ограниченной (со своими производными) функции f=f(x).
Замечание. Эта теорема означает слабую сходимость переходной функции аРо к переходной функции диффузионного процесса. Поэтому при совпадении (или сходимости) начальных распределений для цепей и для процесса сходятся и их распределения вероятностей в момент /=1. Доказательство теоремы. Имеем
7*1 _ т1' Т'* Т**
* 0 — I t, 11, • • • I /„_! ,
.Qi =аФЖ • • • .<Й-Г
t t
Посмотрим, насколько увеличится разность Tf—fit* / при переходе от tk к *к_,. Напишем тождество
Положим ||/|| = sup |/(jc)|. Оператор, связанный с любой
X
переходной функцией, имеет тогда норму, равную 1. Поэтому
260
+IIUS-.
Оценим норму второго слагаемого. Имеем, полагая g(th, x) = Tt*f(x) и учитывая гладкость и ограниченность производных функции g(tk, х) по х,
Lq'l,t''V=j <*»>-
«ЭД ]«('»• У) =
ОО
= f [. P>Ll (*• ЛУ) — PU-, (*» dy)\ X
— 00
X(S(tk, y)-g(th, x)) =
= ( j + f ) [a P'Ll dy) -
— PtLi(x’ dyfldVh’ y)-SUk’ *))•
Интеграл no области \y—х\>г оценивается (в силу свойства 1°) как о(/А—rA-i). В области Iу—х) рассмотрим разность
i(h> У) ~ ?('*. х) = (у - x)g'x(th, х) +
+ Y (у — х)г gxx (/*, X) + 6(е)(у — Х)г,
где 6(e)-* 0 при е—*0.
Интеграл по области Iу—,*!<е сведется к сумме интегралов от (у—х) и от (у—дс)2, которые (в силу 2°) отличаются на o\tk—tk-i), плюс величина, не превосходящая
6(?) (*» — '*-0 с> с = SUP °2 х).
V*
Следовательно, при замене th на норма разности eQ/"/ — rj"/ увеличивается не более, чем на
Поэтому при переходе от fB—1 к fo=0 общее увеличение составит не более чем
6(е)с+о(1).
Устремляя е к нулю, заканчиваем доказательство теоремы.
261
Приведем два примера на использование этой теоремы.
1. Доказательство центральной предельной теоремы. Пусть |ь %2, —. in — независимые одинаково распределенные случайные величины, для простоты обозначений Mi,=0, Di,=i.
Рассмотрим нормированную сумму s,* =*(ii+----rinHl^ Введем марковскую цепь
*(0) = 0; */*Л_ «1±Ь,
\п) Уп Vя/ У'1
Коэффициент сноса для этой марковской цепи есть
м {х (Ц!) _ , (i )|, (А) =*j _ о,
коэффициент диффузии есть
Речь идет, следовательно, о сходимости к винеровскому процессу с коэффициентом диффузии «*=1. Соответст-
де 1 d*g -
вующее уравнение теплопроводности-------------- =------ обла-
ds 2 дх*
дает всеми свойствами гладкости и ограниченности решения. Для применения теоремы перехода остается лишь установить, что для любого е>0
-PllS*+il>eK/i} = o|lJ.
В самом деле,
IxOel'n
ОО
так как — j*, j* x*(i(dx) = 1, а следовательно, при
—оо
п~* оо J **;а(dx) —> 0, е > 0.
Цг|>Гч
262
2. Более реалистическая модель броуновского движения.
Рассмотрим скорость v(t) броуновской частицы. На броуновскую частицу действуют, во-первых, стоксово трение (связанное с вязкостью жидкости), а во-вторых, случайные толчки со стороны молекул жидкости. Сила стоксова трения пропорциональна Скорости v(t)\ что же касается добавки скорости из-за случайных толчков, то примем, что она не зависит от v(r) (полагая, что эффект относительной скорости частицы в жидкости мы учли в стоксовом трении). Тогда при малом Д t
Av(t) - v (t + ДО — v(t) = —av(t) M+t Щ =0. Следовательно,
М{Ду(0 I v(0 = v) = —avSt,
М{[Ду(0Р I v(t) = v) = Щ2 + o(St).
