Теория вероятностей и случайных процессов - Тутубалин В.Н.
ISBN 5-211-02264-5
Скачать (прямая ссылка):
Если скорость невозмущенного движения системы достаточно велика (за то время, за которое теряется зависимость между значениями случайного процесса, невозмущенная система заметно сдвигается), то шансы на возможность аппроксимации диффузионным процессом падают. Рассмотрим, например, систему из одного уравнения
где а —константа, |(0 — случайный процесс. Ее решение
имеет вид x(t) = fexp[a(/—s)]Us)ds, что (в модели слу-
чайного процесса с обновлением) представится в виде суммы независимых случайных величин:
о
о
о
П
(4)
17-2567
257
Но слагаемые в сумме (1) резко неравноправны, так как входят с экспоненциальным весом ехр[а(/—s)]. Рассчитывать на применение центральной предельной теоремы, в частности на то, что закон распределения суммы (1) определяется лишь математическим ожиданием и дисперсией, не приходится. Исключением является лишь случай а=0. Между тем диффузионный процесс определяется сносом и диффузней, т. е. понятиями корреляционной теории; следовательно, нельзя рассчитывать на сведение данной простейшей динамической системы к диффузионному процессу.
Качественно картина выглядит следующим образом. Если роль случайных возмущений, действующих на каком-то отрезке времени в дальнейшем возрастает (случаи а>0,* или становится пренебрежимо малой (случай а<0), то нет оснований думать о том, что удастся обойтись средствами корреляционной теории (в частности, диффузионным приближением). К таким случаям относятся всякого рода полеты — от артиллерийских снарядов до космических аппаратов, которые производятся без коррекции в процессе полета. Роль возмущений на начальном участке в таких полетах исключительно велика. Например, нормальное распределение на плоскости точек падения артиллерийских снарядов есть, вероятно, фикция, которая, может быть, и наблюдается на полигоне в условиях тщательной стабилизации износа орудий, веса снаряда, температуры заряда, условий наводки, метеофакторов и т. д., но только не в реальной боевой обстановке.
Только если возмущения на различных участках как-то равноправно взаимодействуют друг с другом (вроде суммы примерно одинаково распределенных слагаемых), можно рассчитывать на корреляционную теорию.
При наличии невозмущенного движения вопрос об аппроксимации диффузионным процессом зависит от возможности найти некую замену переменной, в результате которой марковская цепь, описывающая движение системы, превращается в движение некоторыми малыми скачками. Например, если положение системы, наблюдаемой в перевернутый бинокль, есть Sh/n, то нужно из него вычесть детерминированное движение kaln = NlSi,/n, а на разность посмотреть в микроскоп, увеличивающий в Уп раз. Если еще сделать замену времени, то мы увидим движение, похожее на винеровский процесс.
Если невозмущенное движение есть вращение по окружности, а случайные возмущения медленно изменяют радиус этой окружности, то нужно следить за возмущениями этого’ радиуса (превратив их в марковскую цепь). Если случайные возмущения приводят к медленному уходу системы координат, которую инерциальная система навигации должна поддерживать параллельно заданной неподвижной системе, то. нужно, проследив за взаимодействием возмущений с состав-
258
нымн элементами инерциальной системы (среди которых есть быстро вращающиеся роторы гироскопов), получить корреляционные характеристики соответствующей цепи Маркова на группе вращений трехмерного пространства. Эта цепь будет изменяться малыми шагами, которые взаимодействуют друг с другом не путем сложения, а путем умножения в ортогональной группе, но это не мешает переходу к диффузионному процессу, если, конечно, удастся выделить и убрать детерминированную составляющую движения.
Таким образом, имеется значительное количество случаев (хотя и сравнительно частных), допускающих переход к диффузионному процессу. Общим математическим средством для этого является так называемая «теорема перехода» А. Н. Колмогорова, впервые опубликованная в 1931 г. со ссылкой на то, что она представляет собой переработку доказательства Линдеберга центральной предельной теоремы. Изложи:;! эту теорему в других обозначениях.
Итак, марковская цепь как модель описания системы со случайными возмущениями — если предположить всякого рода статистические однородности, без которых вообще нельзя говорить о вероятностях, — есть модель сравнительно общая. Речь идет о переходе от цепей Маркова (исследование которых, вообще говоря, крайне затруднительно) к диффузионным процессам (которые можно исследовать более удобно, в частности средствами уравнений теплопроводности).
Пусть на некотором отрезке времени [0, 1] задан диффузионный процесс с переходной функцией {х, Г), для которого функция
Т[ f (х) — g (s, t, х) = Nl\ft.x(t))!x {s) — a-}
при любой гладкой финитной функции f = f(x) является гладкой функцией с ограниченными производными. (Допустим, например, что это известно из теории уравнения теплопроводности).
Пусть на том же отрезке задана последовательность разбиений a={/o=0<fi< ... </„=1> и каждому а соответствует марковская цепь с переходной функцией аР[ (х, Г), по своим свойствам похожая на диффузионный процесс. Это означает,
