Теория вероятностей и случайных процессов - Тутубалин В.Н.
ISBN 5-211-02264-5
Скачать (прямая ссылка):
4.2. Дифференциальные уравнения для переходных вероятностей. В данном пункте, не стесняя себя в смысле различных предположений дифференцируемости, выведем знаменитые уравнения Эйнштейна — Смолуновского — Фоккера — Планка — Колмогорова — Феллера для переходных вероятностей диффузионного процесса. Переходная вероятность Pf (х, Г) имеет, так сказать, «два конца»: левый конец относится к моменту времени s и точке х (начало траектории), а правый конец — к моменту времени t и множеству Г (конец траектории). Соответственно выводятся отдельные уравнения на левом и правом концах.
4.2.1. Уравнения на левом конце. Рассмотрим вместо переходной вероятности Р*>(х, Г) оператор Т[, действующий по формуле
^/(*) = M(/(*(0)|*(S) = .V) J }(У) Ps (X, dy). (1)
—00
Фиксировав t, рассмотрим функции g(s, x) = Tsf(x). Составим для функции g(s, х) уравнение, действующее в области Так как при s-*t промежуток [s, *] укорачи-
вается до нуля, то естественно считать, что при этом
переходная вероятность Р[(х, Г) превращается в некоторое подобие 6-функции Ь(у — х). Следовательно, должно выполняться граничное условие, получающееся соответствующей подстановкой в (1):
lim g(s, х) = /(*). (2)
S~*t
Прямо наложить условия гладкости на переходную функцию Р[(х, Г) нельзя из-за упомянутого превращения ее в 6-функцию. Но при гладкой ограниченной /(а) естественными являются условия гладкости gts, х). Пусть эта функция имеет непрерывные ограниченные производные первого порядка по s и второго порядка по х. Составим для нее дифференциальное уравнение.
Пусть Д>-0; тогда из равенства (1) и равенства Чепмена-Колмогорова следует, что Т^-д Tls =» г?_д. Следовательно,
g(s — Д, а) = g(s, х);
00
g(s — Д, x) — g(s, х) = f g(s, y)PjLд(х, dy) — g(s, x) =
251
— j (g(s> у) — S(s. *)) P*s-д (*. dy) =
— 00
= f (g(s, y) — g(s, х))Р‘-л(х, dy) +
ly-*l>e
+ f (g(s, y)—g(s,. л:))Я'—д(лг, dy). (3)
|y-JC|> t
Предположим, что Р3,-д (дс, Ot(x)) = о(Д) (это условие имеет тот же смысл, что и условие Iе предыдущего пункта, хотя несколько отличается по математической форме); тогда интеграл по у: \у — .v|>e в (3) есть о(Д) в силу ограниченности функции g (вытекающей из ограниченности функции /). Разность g(s, у) — g(s, х) в первом интеграле формулы (3) разложим по формуле Тейлора:
g(s, У) — g(s, *) = (*/ — х) gx (s, дс) +
+ у (У — *)2 ?**(«» х) +
+ Y (У — Х)г [?«х (S, дс + 0(1/ - х)) — g’xx (S, X) J,
где Ос0<1. Предполагая (аналогично соотношениям (2) и (3) предыдущего пункта), что
j (У — х) Р\-д (х, dy) = a(s — Д, дг) Д + о(Д) г
j (у — Л-)2 Р*.-& (X, dy) = o2(s — Д, х) Д + о(Д),.
|У -*/€«
учитывая, что при достаточно малом е>0, \у—дс|<е дс + 6(у — Л')) gxx (s, Х)1<б = 6(г), получим, что сумма (3) преобразуется к виду a(s — A, x)Ag'x(s, дс) +
+ у o2(s — Д, дс) g"xs (s, х) Д 4 о(А) + У,
где IyK ~ °2(s_х) Дб(е), причем 6(e)-*0 прие~»0, 232
Деля g(s — Д, x) — g(s, х) на Д, предполагая непрерывность a(s, х) и o2(s, х) по s и устремляя затем е—>0, находим, что должно выполняться уравнение
называемое уравнением на левом конце. Его нужно решать с условием (2) в полуплоскости Из-за того, что при
dgfds стоит знак минус, уравнение теплопроводности (4) корректно решается именно в этой полуплоскости.
Замечание 1. Если бы процесс x{i) =(xi(0. —,xn(t)) был процессом в Rn, то, полагая
где g(s, х) определяется формулой (1) с заменой R1 на R*. Набор a(s, x) = (ai(s, a„(s, лс)) называется вектором сноса, матрица ||oi/(s, х)|| — матрицей диффузии. Следует иметь в виду, что название «вектор» применительно к a(s, х) не совсем правильное. Вектор есть не просто набор п чисел, а набор, преобразующийся определенным образом при замене координат. Между тем если мы возьмем замену координат y=f(x), то из случайного процесса х(*) получим случайный процесс: y(t)=f(x{t)). Математическое ожидание МДy(t) = M(y{t+A)—y(t)) надо вычислять, учитывая Д xi(t) = =Xi(t + A)— Xi(t) и также квадраты и попарные произведения этих величин, ибо
(4)
a^s, jc) = lim —
|ly-x||<e
ct/(s, x) = lim — J (yi—x,)(y,—xi) PUa (x% dy) = Д-0 Д
= lim — NVs-д.к [Ajfj Дx,\,
л A '
д—о Д
ссЕершенно аналогично получили бы уравнение
dg(s,x)
dXi
(5)
253
МДх,(0, М{Длг,(0 Д*/(0>
имеют один порядок величины Д. Например, для у\(t) — fi(xi(t)...*„(/)) получим
Первое слагаемое в (6) соответствует векторному закону преобразования, второе — нет.
Замечание 2. Как известно, уравнение теплопроводности выводится из закона Фурье (количество тепла, протекающего через единицу площади сечения, пропорционально градиенту температуры); закон же Фурье может быть понят только в рамках флогистонной теории теплоты. Несмотря на ненависть, которую история науки на уровне средней школы проявляет к флогистону, фактически это понятие продолжает жить. Конечно, уравнение теплопроводности (из которого, в частности, следует, что скорость распространения теплоты бесконечна) сейчас рассматривается лишь как грубое приближение для реально происходящих процессов. Но в теории диффузионных процессов флогистон вновь оживает под именем переходной вероятности, и уравнение теплопроводности рассматривается как точное. Об отношении диффузионных процессов к поведению распределений вероятностей динамических систем см. ниже.
