Теория вероятностей и случайных процессов - Тутубалин В.Н.
ISBN 5-211-02264-5
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим общую схему. Пусть B(n)=BiB2...Bn — произведение независимых одинаково распределенных случайных матриц порядка пг. Рассмотрим действие еВ(п) матрицы В(п) на вектор-строчку е. Положим е(0)=е, e(l) =e(0)Bt,
...,e(n)=e(n—l)B„=e(0)Bi...B„. Конечно, е(0),е(1)........е(п)
образуют марковскую цепь (новое состояние е (п) есть функция от старого е(п—1) и от независимой матрицы ?„). Но фазовое пространство этой цепи Rm некомпактно, так что эр-годическая теория применяться непосредственно не может.
Идея метода состоит во введении полярных координат. Положим е(п) =г(п)и(п), где г(п) = \\е(п) ||, и(п) = = е(п)/||е(п)|| — точка единичной сферы. Имеем
16*
243
e(n) = e(n—l)B„ = r(n— \)u(a — \)Bn =
=f(n—i)n(u(/.—i)b,ii . il;;;_ll^ll-
Таким образом, можно положить
r{n)=r(n-l)\\u(n-l)BJ,
u{n)=u(n—l)BJ\\u(n—l)Bn\\.
Рассмотрим последовательность и(п). Равенства (1) показывают, что и(п) есть функция от и{п—1) и Вп, т. е. {«(«), п=0, 1,...} есть марковская цепь. При широких условиях эта цепь эргодична, так как ее фазовое пространство (единичная сфера) компактно. Далее, рассмотрим пару (и{п), В„+1). Равенства (1) показывают,что (и(п), fln+i) естьфунк-ция от (и(п—1), Вп) и новой независимой случайной матрицы 5„+i- Интуитивно понятно, что добавление независимой матрицы fl„+i не может изменить эргодические свойства, которыми обладает цепь {и(п), п=О, 1,...}. Но согласно перво-вому из равенств (1)
lnr(n)=lnr(n— 1) +ln||n(n—l)flj,
т. е. lnr(n) является суммой случайных величин, связанных в цепь Маркова.
Таким образом, в полярных координатах (г(п), и(п)) вопрос о поведении вектора е(п) =е(0)В(п) достаточно ясен: для In г (я) ожидается нормальное распределение, а для и(п) — некоторое стационарное распределение на единичной сфере. Некоторые соображения показывают, что совместное распределение г(п) и и(п) приближается при п->-оо к распределению независимых случайных величин.
Рассмотрим пример. Возьмем дифференциальное уравне-нение х+ (1 + е|(0)*=0, где |(f) — случайный процесс с обновлением в какие-то моменты, е — малый параметр. Основной качественный вывод, который получим, состоит в том, что при любом е>0 решение x(f) этого уравнения стремится к бесконечности экспоненциально быстро, т. е. \x(t)\>-с exp (at), где а>0 (по порядку величины а есть е2). Таким образом, случайные колебания упругости маятника без трения ведут к экспоненциальному росту решения. Так как добавление трения ведет к экспоненциальному затуханию решения, то при коэффициенте трения, малом по сравнению с е2, будет наблюдаться экспоненциальный рост.
Проведем соответствующие вычисления. Допустим, что моменты обновления процесса %(t), обозначаемые
244
/o=0</i</2<
можно выбрать в следующем виде: tk+i—^=а+б*, где а— некоторое число (намного большее 2л), бл — случайная велн-чина, равномерно распределенная на отрезке [0, 2л]. Матрица монодромии Вk на отрезке [Л-ь /*] будет матрицей моно-дромни на отрезке длины а, умноженной на матрицу монодромии на отрезке случайной длины <2л. При малом е можно считать, что последняя матрица есть примерно матрица поворота на угол б*. Поэтому для любого вектора и единичной окружности распределение вектора иВк1\\иВк\\ будет равномерным на окружности. Это означает, что стационарное распределение цепи Маркова и(п) будет равномерным.
Вычислим а=М1п||«В„|| (порядок роста 1пг(п) = 1п||е?(п)|| есть как раз па). Заметим, что матрица Вп унн-модулярна, а любую унимодулярную матрицу В можно привести к виду
где И| и i>2 — ортогональные матрицы. При е=0, очевидно, Я= 1; при е=0 элемент X диагональной матрицы есть (для матрицы монодромии) некоторый функционал от процесса !(/), который нетрудно выписать методом последовательных приближений с учетом членов порядка е и е2. Нам важно лишь то, что для матрицы монодромии А,= 1 + б, где б — величина порядка е.
При вычислении 1п||ы5|| ортогональные сомножители t»i и v2 не влияют на 1|и/?||. Следовательно, нужно лишь вычислить М1п||иД||, где A = diag(X-1, X). Пусть и = (cosф, ®inф)* ф имеет равномерное распределение на отрезке [О, 2я], а А фиксировано. Имеем
In || «Д || = 1/2 ln(X-a cos4 ф + X* sin2 ф) =
= 1/21п|(1 + 8)-2со52ф + (1 + S)2 sin* ф] =
= 1/21п[со8*ф + 5т2ф-Ь((1 -Ь8)-2 — 1) cos2 ф + (26 4- З2) sin2 ф] = 1 /2 ln( 1 -Ь (— 26 -Ь 382) cos2 Ф +
+ (28 -f о2) sin* <р -f . . .),
где многоточие заменяет члены порядка 8* и выше- Разлагая In с учетом членов порядка 8*, получаем
2 In ЦиЛ || = (— 28 + Зо2) cos2 ф + (28 -}- 8s) sin2 ф —
— 1 /2(48* cos4 ф -J- 482 sin4 ф — 882 sin2 ф cos2 ф).
245
При равномерном распределении ф на отрезке [0, 2к] Msin^j> = Mcos29= 1/2, М sin2 ф cos2 ф = 1/8,
М sin4 ф = М cos4 ф = 3/8.
Поэтому при фиксированной Л = diag [(1 + З)-1, 1+SJ имеем
М 1п||иД|| = 1/28*(2 - 2-3/4 + 1/2) = 1/2о2.
При усреднении по матрице Л получим
