Теория вероятностей и случайных процессов - Тутубалин В.Н.
ISBN 5-211-02264-5
Скачать (прямая ссылка):
4.2.2. Уравнения на правом конце. Для вывода уравнений на правом конце предположим, что существует гладкая переходная плотность р[ (х, у):
Af/i(*) = У& + А) - yi(t) = ^
i
иными словами,
lim -^-М, yAiM0 = д-*о Д у
(6>
г
254
Уравнение Чепмена-Колмогорова принимает вид при Д>0
2)= J p's(x. У)р‘+*(У, 2) dy. (1)
—оо
Пусть q>(z) — гладкая финитная функция; преобразуем аналогично предыдущему пункту разность
оо оо
j Р*+А(*. z)<j>(z)dz— j* р1,(х, y)q>(y)dy =
— оо —оо
оо ео
= 'j J У)Р*<+Л (У, z)(tp(z) — <f(y))dzdy —
—ос —оо оо оо
= j dyp[{x, у) j р*,+*(у, z)i<f(z) — (f(y))di =
— о» —оо
оо /
= j dypi(x, у) j* p,+A (y,z) (<f(z)-<t(y))dz+o(A)
—ОС yl^t
ОС
=> j dyp[ (.v, у) j р,'+Л (у, z) X
—О» |Z—уг?1
X l<f'(y)(z — y) + y<P"(#-!/)s J dz + 6(s) Д+о(Д) =
oo
= j p'*(x, y)\a(t, у)ф'Ы +
—oo L
+ ~o2(f, у) ф"(у) j rfi/ + 6(c) Д + о(Д) =
OO
= j J— [«(', y)pl(x, y)} + J- X
—OO
X ¦— [о2(Л У) Р» (*. у)] |ф(у)йГу + 6(е)Д + о(Д).
Учитывая произвольность функции ф (у) и предполагая диф« ференцируемость р*а (х, у) по t, получаем (аналогично пре* дыдущему пункту)
255
у)р\\Х' у)] +
dt dy
+ fll0*^’ у)р*(х* у)]-
2 ду%
(2)
Уравнение (2) есть снова уравнение теплопроводности. Оно называется уравнением на правом конце. Его нужно решать в полуплоскости t>s с условием, что при t-*-s решение превращается в б-функцию б(у—х) (такое решение называется фундаментальным решением уравнения теплопроводности). Оператор, входящий в правую часть (2), получается, если заменить в операторе, стоящем в правой части уравнения (4) предыдущего пункта, «левый конец» (s, х) на «правый конец» (t, у) и взять сопряженный оператор. Аналогично замечанию 1 предыдущего пункта по этому же правилу пишется уравнение на правом конце в случае диффузионного процесса в Rn.
В случае однородного по времени диффузионного процесса коэффициенты сноса и диффузии не зависят от времени/. Получаются уравнения, к которым можно применять преобразование Фурье (Лапласа) по переменному t. От этого задача решения уравнения упрощается, но обычно остается достаточно сложной.
В частности, замечая, что функция
g(s, x)=Nl{f(x(t))fx(s)=x}
зависит в однородном по времени случае от t—s: g(s, х) = = g(t—s, x), и подставляя в уравнение на лево-м конце dg/dt = —dg/ds, получаем для функции
h(t, x)=Nl{f(x(t)fx(s)=x},
рассматриваемой как функция t при фиксированном 5, уравнение
dh . . dh . 1 ... dVi
— = а(х)----— о (х) —,
dt к dx 2 w дх*
которое надо решить в полуплоскости t>-s, с граничным условием h(s, x)=f(x). Обычно полагают s = 0.
Из уравнения на правом конце можно (в стационарном по времени случае) получить уравнение для стационарной плотности распределения вероятностей. Именно, допустим, что
при фиксированном s и t—> оо плотность р\ (х, у) стремится к стационарной плотности р(у), а производная dpl/dt стремится к нулю. Тогда получим
256
о = - J-\а(у) Р (у)] р(у)\,
dy 2 dy3
4.3. Динамические системы и диффузионные процессы.
Наши знания о случайных процессах, действующих на динамические системы, обычно настолько скромны, что предположить обновление случайных процессов (т. е. их замену на независимые) в какие-то моменты времени достаточно естественно. В этом случае получаем для системы общего вида модель цепи Маркова. Замена же движения системы диффузионным процессом есть, наоборот, довольно частный случай.
Даже в случае, когда собственного движения системы нет (т. е. без случайных возмущений ничего не меняется), мы не обязательно увидим диффузионный процесс. Например, пусть положение системы в момент k есть сумма Sft=|i + la+ ... + + !« независимых одинаково распределенных случайных величин. Допустим, что, собираясь наблюдать систему до (большого) времени п, мы посмотрим на нее в перевернутый бинокль, уменьшающий все размеры в п раз. Тогда увидим §k=Skln, что есть ka/n, где а=Щ{, плюс случайная добавка с дисперсией kcPIn2, где o2=D|<. Однако при k=l,...,n имеем ko2ln2<co2/n->-0, т. е. в бинокль увидим детерминированное движение. Только если а=О, а бинокль взять с уменьшением в In раз, увидим Sk/Vn, что напоминает винеровский процесс jc(/) с диффузией о2, еслн положить t=k/n, 0<f<l.
