Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Тутубалин В.Н. -> "Теория вероятностей и случайных процессов" -> 93

Теория вероятностей и случайных процессов - Тутубалин В.Н.

Тутубалин В.Н. Теория вероятностей и случайных процессов — М.: МГУ, 1992. — 400 c.
ISBN 5-211-02264-5
Скачать (прямая ссылка): teoriyaveroyatnosteyisluchaynihprocessov1992.djvu
Предыдущая << 1 .. 87 88 89 90 91 92 < 93 > 94 95 96 97 98 99 .. 161 >> Следующая

230
Лемма. М exp (itSn) = лРп (t)e.
Доказательство. Будем вычислять Мexp(itSn), переходя к условным математическим ожиданиям, вынося измеримую случайную величину за знак условного математического ожидания и используя марковское свойство:
М exp (itS„) =¦ М ехр
it 2 /«*)) -
*-1
-мм
Х(0). *(U-------jr(rt-l)
;-1»ехР
*-1
Мехр
it 2 /М*)) 1 Мж(0> ж<1>.....ехр(Й/х<л)))=
*=i J
= Мехр
п-1
it 2 /(*(*)) | ГЛх(п_и exp {itf(x(n))}= л-i j
= Мexp \it 2 /И*))} 2 P«n-iU e“m =
[ A=1 J /-1
Mexp J/7 2/WA))Jp(0«W«-1))
= MM
*(0). x(l)......r<n—2)
-2» eXP
n—1
it % f(x(k))\P(t)e(x(n-l))
- Mexp JtY 2 f(*(?))j Мх(я_2)exp{<7/ (x(n— 1))) X
XP(t)e(x(n- 1))
= Mexp
In-2 it 2 i
/(*(*))
AT
i-l
X exp [itf(j) } P(t) e(j) -
H—t
= M exp \tf y. f(x(k))
I *-1
= MMJ(0| X()J........x(n-t) e*P | it 2
I *-1
P*(t)e(x(n-2)) =
P*(t)e(x(n-2)) =
= Mexp \it 2 /W*))jМ,(п_з, X
I fc-i )
X exp{if/ (jc(/i — 2))} P*(t) e(x(n-2)) =
231
я ~3
М ехр
« 2 /«*» *=i
P*(t)eWn-3))-
= . . . = Mexp |ftf (x(l))}P"-!(t)«Ml)) =
=. ММХ(0) exp {itf(x( 1))> Pn-‘ (t) e(x(l)) =»
= M 2 P*(0). / exP{*'^/(/)} Pn—1 (t) e(j) »
/-1
=миоф(0))= 2 «^"(0«(/) = «рп(0*.
У-I
Лемма доказана.
2.4. Закон больших чисел и центральная предельная теорема. Закон больших чисел будет (как и в случае независимых слагаемых) относиться к Sn/n, а центральная предельная теорема — к нормированной сумме. В обоих случаях нам достаточно будет изучать поведение характеристической функции Mexp (itSn) при сколь угодно малых значениях t. Предположим, что марковская цепь х(п) эргодич-на. Тогда при /=0 имеем Р(0)=Р и степени Рп(0) изучаются путем выделения максимального собственного значения Хо=1 матрицы Р. Но так как в эргодическом случае собственное значение Хо= 1 однократно (это означает, что производная — det(P — IE) не обращается в нуль в точке ?.= !), dX
то по теореме о неявной функции при t, достаточно близких к нулю, выделяется собственное значение K=X(t) матрицы P(t), которое будет по модулю больше всех остальных собственных значений. Эти остальные собственные значения при f=0 строго меньше 1, т. е. вне некоторого круга радиуса 1—е с центром в точке А,=0 и вне некоторого круга радиуса е>0 с центром в точке Я=1 характеристический многочлен det(P(0)—кЕ) не обращается в нуль. Тогда при достаточно малых t не обращается в нуль det(P(t)-XE) вне круга радиуса 1—е/2 с центром в начале координат и вне круга радиуса е/2 с центром в точке А,=1. Итак, при достаточно малых |/| спектр матрицы P(t) устроен следующим образом: имеется одио собственное значение Я,(/). близкое к
1 по модулю, а остальные собственные значения строго меньше 1 по модулю.
Поэтому аналогично п. 2.2 оператор P(t) разлагается в сумму P(t)=Pl(t)+P2(t) так, что Р»(*)-Р" (*)+Р> (О* причем оператор Р?(0 действует на вектор-столбец f следующим образом:
232
(1)
а оператор Pt(t) обладает тем свойством, что Р?(/)-*0 при
(Здесь p(t) и e(i) — соответственно собственные строчка и столбец матрицы P(t), отвечающие собственному значению Я(О-) Собственное значение Я,(t) гладко зависит от t; собственный вектор-столбец e(t) : P(t)e(t)=X(t)e(t) и собственная вектор-строчка p(t) также могут быть выбраны гладко зависящими от t. Действительно, собственный столбец получается решением системы однородных линейных уравнений ранга N—1, в которой при /=0 можно выбрать отличный от нуля минор (допустим, при неизвестных в\, ... , еы-\), а свободное неизвестное eN положить равным 1. Тогда этот же минор будет отличен от нуля и при малых t, и надо только сохранить выбор свободного неизвестного eN(t) = 1, чтобы обеспечить непрерывность и гладкоать e(t). В частности, е(0)=е.
Если гладкий вектор-столбец e(t) уже выбран, то для выбора собственной вектор-строчки p(t) надо взять тот же отличный от нуля минор, а значение свободного неизвестного выбрать из условия p(t) e(t) — 1. Получится гладкая строчка p(t). Наконец, оператор Pi(t) = P(t)—P\(t) также будет гладко зависеть от t, а оценку нормы II Рз (О Н ^ с ехр(—па) можно будет дать с не зависящими от t константами с и а. Следовательно, согласно лемме предыдущего пункта, при достаточно малых 1/1
JW ex р (itSn) *= яРп (<) е =
- /." (t)(p(t) е) МО) + */>3 (0 е, (2)
где p(t)e-+-1, ле(0_>"1 при /-*-0, а член Qn(t) = nP^ (t)e экспоненциально быстро стремится к нулю. Таким образом, характеристическая функция Mexp(t75„) сводится к Xn(t), т. е. к степени некоторой функции, как это было в случае характеристической функции суммы независимых одинаково распределенных величин. Понятно, что отсюда должны вытекать теоремы, сходные с законом больших чисел и центральной предельной теоремой. Мы сейчас увидим, что так оно и есть, с точностью до некоторых деталей.
Предыдущая << 1 .. 87 88 89 90 91 92 < 93 > 94 95 96 97 98 99 .. 161 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed