Теория вероятностей и случайных процессов - Тутубалин В.Н.
ISBN 5-211-02264-5
Скачать (прямая ссылка):
3.2. Движение по компасу. Представим, что путешественник хочет пройти полосу леса шириной 10 км в восточном на-правлении (так как он знает, что на расстоянии L= 10 км от того места, где он стоит, через лес проходит шоссе с автобусным сообщением, причем остановка автобуса находится как раз в восточном направлении). У путешественника есть магнитный компас, и он действует следующим образом. С помощью компаса он намечает примерно на расстоянии /= = 100 м ориентир, достигает его, намечает следующий ориентир и т. д. Сделав так примерно n=L/l= 100раз, он выходит на шоссе, но только вопрос — в каком расстоянии от автобусной остановки?
Направим ось абсцисс на восток (она проходит через автобусную остановку), ось ординат — на север. Если y(k) — ордината путешественника после k-ro перехода длины I, то очевидно
а у(п) — отклонение от автобусной остановки.
Сделаем теперь вероятностные гипотезы о 6i, 62, ... . Идеально было бы, если бы 61=62= ... =0, но каждый понимает, что при движении по компасу это невозможно. Ошибка, связанная с движением по компасу, состоит в том, что ориентиры замечаются неточно в восточном направлении (как
y(k + 1) = y(k) + y(k+ 1) — у(к) - у(к) + 6*+,, 6*+i = у{к +1) — У (к),
(1)
239
потому, что азимут измеряется неточно, так н потому, что точно на востоке может не оказаться заметного ориентира). Пусть ошибка в определении направления на k-й ориентир есть ф*; тогда 6* =/sin <}>*«/<}>>,, если утлы измерять в радианах. Угловая ошибка имеет систематическую составляющую (связанную с магнитным склонением), а в остальном — случайна.
Пусть магнитное склонение известно и на него введена поправка. Тогда Md>„=0, следовательно, и М6Л=0. Оценим дисперсию D6fc. Примем, что среднеквадратичное
значение У^ф* примерно есть цена деления шкалы компаса, т. е. что-то около 6°= 1/10 радиана. Тогда J/D6* « «//10.
Примем также упрощение, состоящее в том, что отдельные случайные величины бь 62, ... независимы. (Это, вообще говоря, необязательно, так как если на каком-то довольно длинном участке пути есть густой подлесок и ориентиры замечать трудно, то соседние б* будут принимать большие по модулю значения; а скажем, на болоте, где идти трудно, но видимость отличная, соседние б* будут, наоборот, малыми). Тогда у(к) есть сумма k независимых случайных величин (тем самым, конечно, и цепь Маркова, но это малоинтересно), и мы ее немедленно исследуем о помощью центральной предельной теоремы.
Действительно, для у(п) среднеквадратическое значение будет Vrt-VD6* = Vn//10=100 м, т. е. на пути L=10 км ошибка с близкой к 1 вероятностью не должна быть больше
200...300 м. Отсюда, между прочим, очевидно, что очень важно учесть магнитное склонение (его величина тоже может быть порядка 6°, т. е. связанная с ним ошибка составит L/10=l км). Без знания теории вероятностей можно было бы подумать, что раз магнитное склонение лежит на пределе точности определения азимута, то можно его и не учитывать. Но нет: при многократных измерениях систематическую составляющую ошибки весьма полезно вычесть.
Теперь заставим путешественника пользоваться инерци-альным компасом. Система инерциальной навигации способна все время указывать раз заданное направление (допустим, на север), но, конечно, с некоторой ошибкой, зависящей от динамики движения объекта (путешественник может, например, упасть, и тогда система инерциальной навигации отработает угол поворота с некоторой ошибкой). Ошибка все время накапливается: она является чем-то промежуточным между систематической ошибкой и случайными ошибками при нахождении ориентиров.
Тем не менее всю систему «путник—инерциальный компас» можно представить цепью Маркова, усложнив фазовое
240
пространство. Еыберем в качестве точки фазового пространства пару чисел: отклонение у(к) системы от оси абсцисс и угол ухода инерциального компаса от направления на север. Тогда в момент k следующий ориентир будет замечен в направлении отклоняющемся от нужного, на угол 1|?(А:)+ф*, где ф* — случайная ошибка, а отклонение от оси абсцисс y(k+1) получает вид
у (k + 1) = у(к) + / sin (ф(70 + фл) « У (к) +
+ I (Ч(*) + ф4+1) • (2)
При этом за время от k до k+\ уход инерциального компаса изменится на величину
t|>(*+l) — V(k) = ал+i. (3)
зависящую лишь от динамики движения путешественника за время от к до fc+l. Предполагая случайные величины а!, 0(2, •••, независимыми между собой и не зависящими от величин ф|, фг, ..., получим, что положение (y(k+1, i|r(fc+l)) всей системы есть функция от (у(к), ) и от но*
зых (независимых от всего прошлого движения) случайных величин а/,+1 и фа+ь т. е. соотношения (2) и (3) задают цепь Маркова. Согласно правой части (2) уход инерциального компаса ^(к) и ошибки в определении ориентира ф* дают в общую ошибку такие вклады, которые попросту суммируются. Можно считать, что ошибки в определении ориентира мы уже изучили. Будем считать, что ф1=фг= ... =0, и изучим вклад ухода компаса ф(Л).
