Теория вероятностей и случайных процессов - Тутубалин В.Н.
ISBN 5-211-02264-5
Скачать (прямая ссылка):
к
Полагая, что ’^(0) = 0, получим $(к) = 2 */• Тогда y(k+
/-1
i
+ 1) = y(k) + Z 2 “/» а следовательно,
/=1
у(п+\) = 1(тх1 + (га— 1)а2+ ... + а„). (4)
Дисперсия выражения (4) дается формулой
DM*+1 )}=**• Dotj(l* + 2* +
+ . . . +n,)»f,DaJ • n®/3, (5)
(если считать, что Da1=Da2 = ... =Dan). Таким образом, среднеквадратическое уклонение V^D{r/(/i-(-l)} имеет
порядок величины л3/2 . Постепенно нарастающая случайная ошибка хуже не нарастающей систематической, ко-торая дает ошибку в окончательном положении системы порядка п. (Если бы была линейно нарастающая систематическая ошибка, то она дала бы вклад порядка пш).
! 6—2567
241
Конечно, носимый в кармане инерциа\льмый компас есть в наше время объект пока еще фантастический. Но множитель п3/2 показывает, как высоки должны быть требования к точности реальных систем инерциальной навигации.
Эргодическая теорема в применении к уходу инерциаль-ного компаса мало интересна. В ней речь идет о столь далекой асимптотике (т. е. о сгголь больших значениях п), когда устанавливается стационарное распределение. Нетрудно видеть, что для модели ухода инерциального компаса в виде суммы независимых случайных величин такое распределение лишь одно — равномерное распределение на окружности. Конечно, пользоваться инерциальным компасом без коррекции столь долго, чтобы вместо севера он с равной вероятностью показывал любое направление, неразумно.
Нашу схему можно усложнить; пусть путешественник кроме инерциального компаса возьмет с собой и гирокомпас, чтобы время от времени поправлять инерциальный компас. (Для этого путешественник должен остановиться, включить мотор гирокомпаса и выждать несколько десятков минут, пока по показаниям гирокомпаса можно будет с достаточной точностью понять, где север). Возникнут противоречивые желания: с одной стороны, нужно все-таки идти, а с другой стороны, чтобы идти точно, нужно почаще поправлять инерциальный компас. Предположим, что включение гирокомпаса происходит через каждые т переходов; тогда цепь Маркова, изображающая уход инерциального компаса, сделается неоднородной по времени: в моменты времени т, 2/и, ... вместо перехода в новое состояние путем добавления нового угла ухода будет происходить перескок ошибки компаса в состояние нуль. Но можно уговориться, что путешественник при каждом новом переходе будет посредством случайного эксперимента решать, что ему делать — идти или поправлять инерциальный компас. Если вероятность того, что он поправляет компас, выбрать примерно 1/кг, то получится однородная марковская цепь, близкая по свойствам к неоднородной. У нее будет некоторое разумное стационарное распределение; ouiH6j<a положения путешественника будет величиной порядка Т/п (так как в этой постановке действует центральная предельная теорема). Но конкретные расчеты здесь лучше проводить методом Монте-Карло (да и назвать реальные значения параметров задачи затруднительно).
3.3. Произведения случайных матриц. Вполне непрерывные интегральные операторы по своим спектральным свойствам совершенно аналогичны матрицам, т. е. операторам, действующим в конечномерном пространстве. Цепь Маркова с дискретным временем п=О, 1, 2, ... на произвольном фазовом пространстве задается переходной функцией Я*+| (х, Г). Пусть фазовое пространство X есть гладкое компактное мно-
242
гообразие с некоторой мерой dx на нем, а переходная вероятность задается плотностью р (к, х, у):
Pi+\x, Г) =!>(*. х, y)dy.
г
В однородном по времени случае р(к, х, у)=р{х, у) от к не зависит.
Возникают операторы Т, действующие на функциях f(x), х^Х по формуле
TRx) = I р(х, y)1(y)dy, (1)
Л'
и сопряженные им операторы Р, действующие на плотностях распределения я на X по формуле
Р<У) = $Р(х, у)*(x)dx. (2)
х
Если предположить, что объем \ dx многообразия X конечен,.
х
а плотность р(х, у) непрерывна и ограничена (следовательно, интегрируема с квадратом на ЯХ.Х), то применима теория Фредгольма. Оператор (1) можно рассматривать лишь на непрерывных функциях f(x), и вся наука, касающаяся классов, подклассов и эргодических свойств, может быть перенесена со случая конечного фазового пространства
Х={1, ...,Ю на случай многообразия. Переносятся также закон больших чисел и центральная предельная теорема.
Не приводя подробностей этой теории, ограничимся тем, что укажем ее связь с исследованием произведений случайных матриц. Случайные матрицы возникают, например, при исследовании линейных дифференциальных уравнений, коэффициенты которых зависят от случайных процессов. В модели случайного процесса с обновлением возникает произведение фундаментальных матриц (матриц монодромии), которые являются статистически независимыми.
