Теория вероятностей и случайных процессов - Тутубалин В.Н.
ISBN 5-211-02264-5
Скачать (прямая ссылка):
fkt,xAx(t) = a(t, дг)Д + о(Д), (2)
M,f *[Дх(/)]* -- °2(*. х)А + о(Д). (3)
В этих выражениях знак MttX означает следующее. Вообще-то речь идет об условных математических ожиданиях Ддс(0 при условии, что x(t)=x. Но из-за (маловероятных в силу (1), но все-таки возможных) больших значений Ax(t) могут не существовать условные математические ожидания
248
Mt,xAx(t) и, тем более Mt,xlAx(t)]2. Поэтому, выбрав некоторое е>0, берем условные математические ожидания величин Ax(i) =Ax(t), если Ддс(/)се, и Ддс(/)=0, если |Дх(0|»е. Таким образом,
М,.*Дд:(/) = !Л,.ХАФ), М,.Л(Д^)]г=МЛ4М0]2- (4)
Выражения (4) зависят от е, но в силу свойства Г зависимость от е дает вклад порядка о(Д). Поэтому величины a(t, х) и o2(t, х) определяются не зависящим от е способом, и для краткости обозначений записываем в виде (2) и (3).
Замечание. Необходимость «урезания» приращений Ддг(/), т. е. перехода к Д*(/). связана с тем, что желательно, чтобы функция y(t)—f(x(t)) от диффузионного процесса .v(f) также оказывалась диффузионным процессом; однако функции f бывают и неограниченные. Если считать, что Дx(t) имеет гауссовское распределение (как для винеровского процесса), то при неограниченной / приращение
Ay(t) =f[x(t) +Ддг(/)1 — f(x(t)) может не иметь конечного математического ожидания.
Величина a(t, х) называется коэффициентом сноса (в момент t в точке х), величина a2(t, х) — коэффициентом диффузии. В записи через переходную вероятность имеем следующие выражения для этих коэффициентов:
a(t, х) —iim~ Г (y-x)P't+A(x, dy), (5)
д—е A J
|у—x|<t
a2(t, х) = lim Г (у— х)2Р}+*(х, dy). (6>
д-о Д J
По указанной выше причине выражения (5) и (6) не зависят от произвольно выбранного е>0.
Таким образом, математические ожидания первой степени^ и квадрата малого выражения Дx(t) оказываются величинами одного порядка. Это возможно потому, что положительные и отрицательные значения случайной величины Д*(?) (которые самн по себе имеют порядок величины УД) комбинируются так, что дают величину порядка Д; значения же [Ддс(?)Р все неотрицательные. Если взять [Ддс(/)]3, [Дх(/)14, ..., то соответствующие математические ожидания (если они существуют) либо математические ожидания «урезанных» величин [Ддс(013. [Дх(?)]\ - при естественных условиях должны иметь высший порядок малости по сравнению с Д.
249
Нужно привести какой-то пример диффузионного процесса. Воспользуемся для этого ранее рассмотренным винеров-ским процессом, для которого Ax(t) =х(?+А)—x(t) есть гауссовская случайная величина с нулевым средним и дисперсией б2Д. Проверим свойство 1°:
Pt+*[x, 0&)) - Р{|Д*(01 > Фс(0 = х) (7)
есть вероятность_того, что величина Ax(t)/(bl/A) превысит значение 2=е/бУД. Но величина Ax(t)f(8T/A) имеет стандар-ное нормальное распределение N(0, 1), для которого вероятность выхода за интервал (—г, z) есть примерно ехр{—z2/2h Следовательно, (7) оценивается величиной ехр{—е2/(262Д)} = =о(Д) при любом е<0.
Очевидно, что для винеровского процесса a(t, х)=0 и a2(t, х)=а2.
Существование диффузионного процесса с более или менее произвольными коэффициентами a(t, х) и o2(t, х) вывести не так-то просто. Можно построить реализации такого процесса, исходя из реализаций винеровского процесса (это так называемый метод стохастических уравнений). Пусть, действительно x(t) — винеровский процесс, y{t) — искомый процесс, причем (для простоты) у(0)= 0, а кусок реализации процесса y(t) при 0<t<cT удалось каким-то способом построить; при этом оказалось, что у(Т)=у. Положим у(Т+АТ) = =у(Т)+Ау(Т), где
Ау(Т) =а(Т, у)АТ+а(Т, у)Ах(Т).
Тогда, очевидно, М(Ау(Т))=а{Т, у)АТ,
ЩАу(Т)]2=а2(Т, у)АТ+о(АТ).
Так можно построить последовательность величин y(t) с дискретным шагом по L Но доказательство того, что при измельчении шага получится сходимость к некоторой функции непрерывного времени y(t), которую можно принять за реализацию искомого процесса, технически весьма сложно. В данной книге мы не будем заниматься этим вопросом (тем более что нужно учитывать некоторую физическую нереальность траекторий винеровского процесса, о которой говорилось в гл.5).
Можно пойтн по другому пути: вывести уравнения, которым должны удовлетворять переходные вероятности диффузионного процесса. Если сослаться затем на общие результаты теории уравнений математической физики, из которых вытекает существование (и единственность) решений, то можно получить, что переходные вероятности существуют, удовлетворяют уравнению Чепмена-Коломогорова, а стало быть, определяют и некоторые марковские процессы. Из этой науки, в частности, следует, что переходные вероятности одноз-
250
начно определяются коэффициентами сноса и диффузии. Такой путь вполне возможен, но входить в подробности его конкретной реализации мы также не будем.
