Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Тутубалин В.Н. -> "Теория вероятностей и случайных процессов" -> 91

Теория вероятностей и случайных процессов - Тутубалин В.Н.

Тутубалин В.Н. Теория вероятностей и случайных процессов — М.: МГУ, 1992. — 400 c.
ISBN 5-211-02264-5
Скачать (прямая ссылка): teoriyaveroyatnosteyisluchaynihprocessov1992.djvu
Предыдущая << 1 .. 85 86 87 88 89 90 < 91 > 92 93 94 95 96 97 .. 161 >> Следующая

Итак, из любой точки хв е Х0 за один шаг можно перейти лишь в такую точку у, что уеХ0. Это значит, что из множества Х0 марковская цепь никогда не сможет выйти (множество Х0 называетсястохастически замкнутым). Пересечение двух стохастически замкнутых множеств также стохастически замкнуто. Поскольку общее число состояний у нас конечно (следовательно, и все рассматриваемые множества состоят из конечного числа элементов), то существуют наименьшие стохастически замкнутые множества (из которых нельзя выбросить хотя бы одну точку так, чтобы осталось стохастически замкнутое множество). Наименьшие стохастически замкнутые множества называются классами. Два класса либо не пересекаются, либо совпадают.
Мы доказали, что каждому / такому, что Tf = f, отвечает хотя бы один класс, являющийся частью множества X. = {х0: |/(jf0)| = шах |Дх)| I. Аналогично показывает-\ хех j
ся, что множества
Х+ - j *+: /(*+) = max /(*)), Х_ =
= {*_:/М=тИ(*)1
являются стохастически замкнутыми, следовательно, каждое из них содержит класс. Если собственное значение X = 1 является кратным, то существует отличная от постоянной функция f, такая, что Tf=f. Для такой функции Х+ и Х_ не пересекаются. Итак, если X = 1 кратное собственное значение, то классов более одного. Покажем, что верно и обратное: если классов более одного, тс собственное значение X = 1 является кратным.
226
Лемма 2. Если К—класс, то существует такая функция f, что Tf—f, 0</(*) <1 и f(x) = 1 при хеХ.
Доказательство. Пусть Р*(х) — вероятность того, что траектория {*(«), n=0, 1. ... } цепи Маркова, выходящая из точки х (т. е. при условии, что х(0)=х), когда-либо достигает класса К (существует п0, такое, что х(по)^К). По формуле полной вероятности
Рк (х) - 2 Р{х( 1) - ylx(0) = XI рк (у) = 2р,у Рк (у). (3)
у ) и
Таким образом, 7Рк(х)=Рк(х), но очевидно, что Ос <РК(*)<1 и что Рк(х) = 1, если х^К. Лемма доказана.
Таким образом, если имеются два класса ?, и Кг, то имеются две функции PKi(x) и PKt(x), собственные для
оператора Т с собственным значением 1 и, очевидно, линейно независимые (для хеК, имеем: PKi(x) = l, /*,(*) = = 0; для xeKt имеем: Ря(х) = 0, ^к,(*)=1). Значит,
X = 1 — кратное собственное значение.
Классы — это ловушки. Действительно, пусть S — объединение всех классов. Для каждой точки х еХ\ S =S вероятность Ps(x) когда-либо достигнуть S либо равна
нулю, либо больше нуля. Но такие точки х, что Ps (х) » а 0, сами обязаны образовывать класс (в силу (3)). Следовательно, Ps(x)>0 для любого xeS. Но тогда для
каждого х существует я(х), такое, что с положительной вероятностью траектория, выходящая из х, достигает S
не более, чем за п(х) шагов. Полагая п— шахп(х), полу-
*ex\s
чаем, что за п шагов каждая траектория, выходящая из
хе5, достигает S с вероятностью а(х)>0. Если a=mina(x),
*e*\s
то а>0. Таким образом, вероятность частице не попасть в 5 за первые л шагов не более 1—а; вероятность не попасть в 5 за 2л шагов не более (1—а)* и т. д. В конце концов частица попадает в S с вероятностью 1. При этом она распределяется между классами, образующими S, с теми или иными вероятностями.
Теперь рассмотрим собственное значение *-Ф 1, но такое, что |Х| = 1. Если Tf(x) =» Х/(х), то из точки х0, такой, что |/(Jt0)l “ тах|/(х)|, можно попасть с положительной ве-
роятностью только в такие точки у, что \(у) ** Х/(х0); из точки у только в такие точки г, что f(z) *= Щу) = Х2/(х0) и т. д. Если среди чисел 1, X, X2, . . . нет одинаковых, то
15* 227
Х= |]........N) разобьется на бесконечное число непере-
секающнхся множеств, чего не может быть. Значит, существуют тип, такие, что /.я, = /.я, т. е. /.т~п=1. Вывод: /. — обязательно корень некоторой степени из I. Пусть к— наименьшее натуральное число такое, что >ч* = 1. Тогда из множества точек vt для которых Дt>) = X*-1 /(х0>3частица попадает в множество точек, где значение функции f равно f(x0). Мы описали циклическое движение точки по подмножествам
{*:/(*)=/(х0)|, {*:/(*) = /./(*„)}, . . .
.. . , [х: / (*) = X*-1 f(x0)}.
Если в этих подмножествах выделить минимально возможные так, чтобы в целом осталось стохастически замкнутое множество, то получится то, что называется системой подклассов.
Вспомним теперь понятие эргодичности как независимости далекого будущего случайного процесса от прошлого. Заметим, что наличие двух или более классов или хотя бы одной системы подклассов исключает эргодичность. Действительно, помещение начального состояния цепи х(0) в один из нескольких классов либо в данный конкретный подкласс н-икогда не будет забыто. В случае класса траектория цепи навсегда останется в этом классе; в случае же подкласса каждые k шагов будет возвращаться в тот же подкласс.
2.2. Эргодические цепи. Определим эргодическую цепь как такую, которая не имеет ни различных классов, ни подклассов. Иначе можно сказать, что матрица Р для эргодической цепи имеет однократное собственное значение Х= 1, а собственных значений, таких, что ! Я ! = 1, но %Ф 1, не имеет.
Предыдущая << 1 .. 85 86 87 88 89 90 < 91 > 92 93 94 95 96 97 .. 161 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed