Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Тутубалин В.Н. -> "Теория вероятностей и случайных процессов" -> 105

Теория вероятностей и случайных процессов - Тутубалин В.Н.

Тутубалин В.Н. Теория вероятностей и случайных процессов — М.: МГУ, 1992. — 400 c.
ISBN 5-211-02264-5
Скачать (прямая ссылка): teoriyaveroyatnosteyisluchaynihprocessov1992.djvu
Предыдущая << 1 .. 99 100 101 102 103 104 < 105 > 106 107 108 109 110 111 .. 161 >> Следующая

Примем, что М?2=о2Д*; тогда коэффициенты сноса и диффузии получаются следующие:
a(t, v) = —av, a2(t, v) = о2.
Путь, проходимый в броуновском движении, — это интеграл от скорости; его мы рассмотрим чуть позже.
Казалось бы, что, зная коэффициенты сноса н диффузии, мы должны прямо приступить к решению уравнения для переходной плотности, чтобы полностью описать процесс v(t). Но такое решение было бы не слишком приятным, и мы предпочтем обходной путь, который за счет комбинации уравнений на правом и левом конце и некоторых других соображений позволит обойтись почти без вычислений.
Сначала найдем стационарное распределение для скорости. Имеем уравнение
0 " _ 7 (~avP(v)) +TTi (olP(*>)).
do 2 do*
Интегрируя один раз, получим
—avp(v) = j p'(v) + С.
По физическому смыслу скорость броуновской частицы в стационарном режиме не должна принимать особенно больших значений; это означает, что при р-*±оо должно быть i>p(v)-*0 и p’{v)~* 0. Но тогда С —0. Следовательно,
р’{о) 2а
откуда с exp | — т. е. стационарное распреде-
ление для v — нормальное с дисперсией о2/2а, откуда
с = [a VT'la\ '•
Поскольку для диффузионного процесса безразлично, каким принимать распределение вероятностей для | (лишь бы М?=0, Мl2=a2At), примем это распределение нормальным. Тогда условное распределение для скорости при любом начальном условии и(0)=у тоже нормальное (как для линейного функционала от независимых гауссовских толчков). Найдем его параметры.
Для однородного по времени марковского процесса функция М{у(0|^(0) = v) = g(t, v) удовлетворяет уравне-
Ьв Ь% 1 о z
нию — = — av — + — ® • С другой стороны, поскольку
случайные толчки g не влияют на Nli{t+At), можно предположить, сохраняя только трение, что g(t, v)—ve-al. Действительно, эта функция удовлетворяет указанному уравнению.
Найдем теперь ковариацию Ma(0) v(t), считая распределение у(0) стационарным. Имеем
Mv(0)v[t)= М M{i?(0)t'(<)lt'(0)}=Мс(0)М|о(<)И0)|=
= Mv(0)‘v(0)e~a/ = ?-o'M[v(0)]2 = — e~at.
Если распределение и(0) стационарное, то распределение v(t) также стационарное, и тогда коэффициент корреляции
r(t) = гт, т = е~а1.
Предположим теперь, что совместное распределение о(0) и v(t) гауссовское (двумерное нормальное). Тогда условная дисперсия v(t) при известном и(0) должна равняться
(1_г«(<))0о(<)=в^(1
Имеем соотношение
М (у2(0|о(0) «= v) — D{i'(i)|t'(0) = v) -|-
+ [ММОМО) = и)]*= ^(1-е-2а0 +
«в
264
Подставляя эту функцию в качестве g(t v) в уравнение, видим, что уравнение удовлетворяется. Так как удовлетворяется и граничное условие
M(i>2(f)M 0) = 1>)|»=о = г>2,
то мы нашли верное выражение для D{t'(0 / t»(0) = v}.
Но отсюда следует, что совместное распределение для :’(0) и v(/) действительно гауссовское. В самом деле, совместное распределение однозначно определяется распределением i'(0) и условным распределением v(t) при известном у(0).Но эти распределения такие же, как у двумерного нормального распределения.
Выпишем формулу для переходной плотности p(t, v, w): это гауссовское распределение со средним ve~at и дисперсией — (1 — е~-и). Имеем формулу
2 а
\га ( аЫ'—ve~‘
P(t, v, w)=--------- _ exp
в I'SKi1
Видим, что даже подстановка такой плотности для проверки уравнения на правом конце представляет известные трудности (чем н объясняется избранный нами обходной путь).
Мы получили описание скорости броуновского движения в виде гауссовского стационарного процесса с кор-
О8
реляционной функцией —e~at, *>0. Соответствующая
2 а
спектральная плотность /(>.) дается формулой
/(Х)= 1 Ге‘7>- • - •e-Wdt — — (—--Н ——] = — ------.
/W 2* J 2a 4*а\о-Гк^ a + i\ ) 2к(а*+Х*)
—оо
Интеграл от скорости в пределах от 0 до Т имеет гауссовское распределение примерно с дисперсией 2nf(0)T=Ta2/a2. Поскольку стоксово трение а известно, по наблюдениям расстояния, проходимого броуновской частицей за время Т, можно узнать о2 — оценить интенсивность толчков, которые испытывает броуновская частица со стороны молекул жидкости.
Замечание. В последнее время описанная модель броуновского движения подвергается сомнению с теоретической и экспериментальной стороны. Утверждается, в частности, что корреляция между значениями скорости броуновской частицы спадает медленнее, чем полагалось бы по: экспоненциаль-
265
ному закону exp (—at). Во всяком случае изложенное представление о скорости броуновской частицы как о гауссовском марковском стационарном процессе (так называемый процесс Орнштейна—Уленбека) держалось в науке почти столь же долго, как и представление о флогистоне. Насколько мог выяснить автор данной книги, в настоящий момент речь идет именно о сомнениях в модели процесса Орнштейна—Уленбека применительно к скорости реальной броуновской частицы, но все-таки не о том, что эта модель окончательно отвергнута и заменена более правильной.
Предыдущая << 1 .. 99 100 101 102 103 104 < 105 > 106 107 108 109 110 111 .. 161 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed