Теория вероятностей и случайных процессов - Тутубалин В.Н.
ISBN 5-211-02264-5
Скачать (прямая ссылка):
§ 2. Исчисление вероятностей
В предыдущем параграфе был приведен пример практического вывода, который можно извлечь из подсчета вероятностей: очередь за экзаменационными билетами занимать смысла ие имеет. Какие выводы можно вообще извлечь из знания вероятностей, пока сказать не можем: это станет ясным лишь после изучения основных законов теории вероятностей. Пока что наша задача — облегчить подсчет вероятностей. Дело в том, что прямой подсчет с помощью определения 2 § 1, конечно, часто бывает трудным. Следует вывести ряд простых формул, вытекающих из определения 2, которые будем называть формулами исчисления вероятностей.
Под исчислением вообще понимаются какие-то способы писать формулы и выводить из одних формул другие. Огромную нагрузку несут в современной культуре дифференциальное и интегральное исчисления. Роль исчисления вероятностей не столь фундаментальна, но все же велика. Кроме облегчения подсчетов вероятностей, можно отметить два аспекта работы того небольшого исчисления, которое сейчас разовьем.
1. Выведенные для дискретного й формулы исчисления сохраняют свой вид для произвольного сложного й, облегчая понимание общей аксиоматики.
2. Лишь в учебниках теории вероятностей действует схема, согласно которой для реального явления нужно сначала построить модель из й и Р(ю) и воспользоваться определением 2 § 1. Фактически вероятности одних событий находятся по вероятностям других событий без полного описания (иногда) й и (как правило) Р(ю), а прямо путем обращения к формулам исчисления.
Итак, рассмотрим операции над событиями и свойства вероятностей. Поскольку события трактуются как подмноже-
14
ства Q, то операции над ними — это обычные теоретико-множественные операции, но следует иметь в виду, что в теории вероятностей сохранилась старая терминология, употреблявшаяся еще до возникновения теории множеств (в этом есть> свой смысл, так как в применениях теории вероятностей событие есть, конечно, подмножество й, но, как правило, не любое, а задающееся достаточно простым высказыванием).
Дополнение (или отрицание, или противоположное событие). С каждым событием А связано событие Л=0\Л, которое состоит из тех и только тех элементарных событий мей, которые не входят в А. Это событие А называется дополнением к событию А, либо отрицанием события А, либо событием,. противоположным для события А. Из определения 2 § 1 вытекает, что
Р(Л)+Р(Л) = 1,
так как
Р (А) + Р( Л) = S PH + 2 PH = S PH = 1 •
о'бО
Поупражняемся немного в классической терминологии теории вероятностей. Будем говорить, что событие А наступило в опыте, если опыт закончился таким элементарным событием о, что юеЛ. Тогда сможем заявить, что противоположное событие А наступает тогда, когда событие А не наступает: во всяком опыте наступает А или А, но никогда оба вместе.
Объединение, или сумма. Суммой событий А\]В называется теоретико-множественное объединение соответствующих подмножеств А и В.
Пересечение, или произведение. Произведением А(]В=АВ называется теоретико-множественное пересечение подмножеств А и В.
Очевидно, что сумма событий наступает тогда, когда наступает хотя бы одно из них, а произведение — тогда, когда наступают оба вместе. Имеет место формула
Р(ЛиЯ) = Р(Л)+Р(Я)— Р(ЛВ).
Действительно, в сумме Р(Л)+Р(В) вероятности элементарных событий, входящих и в Л и в В, будут сосчитаны дважды; но если теперь вычесть Р (АВ), то остается сумма вероятностей элементарных событий, входящих в А и В, в которой каждое элементарное событие сосчитано ровно один раз. А это и есть Р(ЛиЯ).
В этой книге мы резервируем знак «плюс» для обозначения суммы непересекающихся множеств: будем писать вместо А\]В сумму А + В, если известно, что пересечение АВ пусто: АВ=0. В таком случае Р(ЛВ)=0 и получаем
Р(Л+Я)=Р(Л) + Р(б).
15
В элементарном случае (когда й не более чем счетно) эта формула является простенькой теоремой; она сохраняется и для общего случая, но уже в качестве аксиомы.
Свойств операций над событиями можно отметить великое множество, например дополнение к сумме событий равно пересечению их дополнений; дополнение же к пересечению есть, наоборот, сумма дополнений. Свойствам операций отвечают и какие-то свойства вероятностей. Однако основные фор* мулы исчисления, которые исчерпывают значительную часть того, что обычно требуется в выкладках, уже приведены.
Рассмотрим теперь следующую задачу. Некто написал п писем, предназначенных п различным адресатам; затем на конвертах написал п адресов и случайно разложил письма по конвертам. Какова вероятность того, что хотя бы одно письмо попало в свой конверт?
Элементарные события здесь, очевидно, подстановки; слова «случайно разложил» обозначают, что эти подстановки равновероятны. Спрашивается, сколько таких подстановок, в которых хотя бы один символ переходит в себя. Этот подсчет может показаться затруднительным. Воспользуемся формулами исчисления. Пусть событие At означает, что t-e письмо попало в свой конверт: очевидно, что P(Ai) = l/n. Нас спрашивают о вероятности суммы ЛШЛги... 1Йп- Оказывается, что имеет место формула
