Теория вероятностей и случайных процессов - Тутубалин В.Н.
ISBN 5-211-02264-5
Скачать (прямая ссылка):
18
Следовало бы обосновать, почему не прав Д’Аламбер. Насколько понимает автор данной книги, сделать это чисто логи-ческим путем невозможно: придется в конце концов промямлить что-нибудь вроде того, что мнение Д’Аламбера не согласуется с опытом. Действительно, в физике микромира бывают ситуации, в которых скорее прав Д’Аламбер. Но надо хорошо представлять себе, к какому именно опыту мы апеллируем; нам ведь слишком скучно бросать монеты, чтобы речь могла идти о личном опыте. Речь идет о некотором исторически накопленном опыте игроков в орлянку или кости (вроде знаменитого шевалье де Мере), которым почти бессознательно пользуемся.
Смысл теоремы умножения вероятностей состоит в том, что она часто облегчает введение безусловных вероятностей, если они сразу не очевидны. Приведем соответствующий при-мер.
Рассмотрим опять задачу о раздаче экзаменационных билетов из § 1. Предположим, что номера экзаменационных билетов, доставшихся студентам, для нас ненаблюдаемы, а наблюдаемо лишь выражение лица — счастливое или несчастное. Допустим, что мы верим в принцип, согласно которому ненаблюдаемые веши не следует вводить в модель. Тогда для ситуации с первыми двумя студентами у нас будут 4 элементарных события: 1с 2с (первый счастливый, второй счастливый), 1с 2н (первый счастливый, второй несчастный) и аналогично 1н 2с, 1н 2н. Как найти вероятность Р(1с 2с)? Запишем теорему умножения вероятностей
Р(1с2с) - Р(1с) Р(2с/1с)
и с удовольствием убедимся, что входящие в правую часть вероятности нам совершенно ясны:
Р(1с)~. P(2c/lc)=—
Поскольку 2с = 1с2с1)1н2с, аналогично получаем
Р(2с) = Р(1с2с) + Р(1н2с) = у • -1=1- +
, УУ — п п п
N ' N- 1 ~~N'
т. е. шансы первого и второго одинаковы.
Конечно, математически аккуратное решение этой задачи должно включать определение безусловных вероятностей всех четырех элементарных событий и проверку единственной аксиомы (сумма вероятностей элементарных событий равна 1). Не мешает убедиться и в том, что условные вероятности, най-
денные из безусловных с помощью математического определения, совпадают с теми и без того ясными условными вероятностями, которые послужили опорой нашей интуиции. За математическую строгость надо платить, совершая иногда лишние действия (лишние — с точки зрения здравого смысла). Другим важным неудобством предложенного сейчас решения является его крайняя громоздкость для случая более чем двух студентов. Таким образом, введение только мыслимых, но ненаблюдаемых событий, сводящее всю задачу к частному случаю групповой инвариантности (перестановка студентов в очереди эквивалентна перестановке билетов в куче, разложенной на столе; однако все порядки билетов в куче равновероятны), является предпочтительным.
С условными вероятностями связаны две формулы исчисления, с которыми необходимо познакомиться.
Формула полной вероятности. Пусть множество элементарных событий Q разбито на п непересекающихся подмножеств Ни Нп:
Q *¦ НН2+Нп.
Пусть B^Q. Тогда имеем B=BHi + BH2+... +ВНп\
Р(В) - Р(ВНХ + . . . + ВНп) - S Р(ВН,) =
/-1
-2Р(я,)Р(ВД).
Эта формула называется формулой полной вероятности*. Подмножества Hi, tf2,..., Я„ называются гипотезами. Полученная формула в виде «заклинания» выглядит так: «вероятность какого-нибудь события равна сумме вероятностей гипотез, умноженных на условную вероятность события при данной гипотезе».
Формула Байеса. Произведем выкладку
Р(Н IR\ - *Н>В) - WWB/Hj)
' ‘ ' Р(Я) п
2 щнтвшо i-1
Полученная формула называется формулой Байеса. В этой формуле вероятности гипотез Р (Hi) называются априорными, а условные вероятности Р(Я,/В) — апостериорными. Эти названия связаны со следующей схемой научного исследования.
О природе некоторого явления имеется п гипотез Ни Я2,
Я„, в которые мы верим с вероятностями P(//t), Р(Я2),
* Формула полной вероятности, очевидно, справедлива в случае не только конечного, но и счетного разбиения Q=#i+#2+ ....
20
Р(Я„). Чтобы узнать, какая из гипотез верна, производим эксперимент, в результате которого может наступить или не наступить событие В. Пусть известны условные вероятности Р (В/Н^ наступления В при каждой из гипотез. Допустим, что в результате эксперимента событие В наступило. Тогда мы можем с помощью вычисления вероятностей Р (Н,/В) переоценить нашу степень доверия к каждой из гипотез на основании исхода эксперимента. Вместо априорных (доопытных) вероятностей Р(Я|), Р(Я2), .... Р(Я„) получаем апостериорные (послеопытные) вероятности P(#i/B), Р (Н2/В), ..., Р (Я„/В).
Вообще говоря, такая схема слишком наивна, чтобы в самом деле моделировать процесс научного познания (откуда взять вероятности Р(#<) и Р(В/Я,)?), но даже рассмотрение проблемы с грубыми значениями этих вероятностей может иной раз пролить новый свет на некую практическую ситуацию в целом.
