Теория вероятностей и случайных процессов - Тутубалин В.Н.
ISBN 5-211-02264-5
Скачать (прямая ссылка):
Определение независимости представляется на первый взгляд экзотическим: с чего бы двум событиям А и В лежать в Q так. чтобы вероятность Р (АВ) их общей части равнялась Р(/4) Р(5)? Такие случаи действительно бывают. Например, при бросании игральной кости события, состоящие в выпадении четного числа очков и выпадении числа очков, кратного трем, независимы. Но настоящая сфера применимости понятия независимости относится к опытам, независимым друг от друга по здравому смыслу: если в одной комнате бросается монета, а в другой — игральная кость, то результаты бросаний независимы.
Нам предстоит понять естественность соответствующей вероятностной модели. Пусть один опыт описывается вероятностным пространством {?2(1>, РО}, второй — вероятностным пространством Ш(2), Р(2>). Спрашивается, как описать сложный
23
опыт, состоящий из двух опытов, с соблюдением всякого рода независимостей?
Ясно, что пространством элементарных событий будет прямое произведение
Q=Q(»XQ(2>={((¦><•>, m<*>):m<»e &l), to<2)e=Q(2)}.
Вторая мысль состоит в том, что события, связанные с исходом только первого (или только второго) опыта, можно с удобством описывать в рамках более сложного пространства элементарных событий: Й=0(,)ХЙ(2). Действительно, тсть
Рассмотрим
1(I)=^C)XQ<2>={(©<», ш<2>) : о)<‘> еЛО, ©<2>e=Q<2>}sQ.
Так вот, сказать ли, что наступило А(т. е. первый опыт закончился исходом ©Wed*1)), или сказать, что наступило Л<‘> (т. е. первый опыт закончился исходом а второй
опыт — каким угодно исходом ©(2>ей<2>), совершенно все равио.
Третья мысль: для достижения независимости введем на множестве S2={ (о)(|>, ш<2)} вероятность Р по формуле
Наконец, последняя мысль: независимыми в смысле умножения вероятностей оказываются не только элементарные события, но и любые события и А<?\ из которых первое связано лишь с исходом первого опыта, а второе — с исходом второго опыта. Действительно,
24
2 p<,V,,)p,2V2))
- 2 p(,v’)- a p(2,(<«*(2,)=
= р«»(л(1)) p®U®) = Р(Л(,‘) РЦ(2>).
Совокупность этих соображений показывает, что в прямом произведении вероятностных пространств пары независимых событий возникают совершенно естественно. Для получения п независимых в совокупности событий естественно взять прямое произведение п вероятностных пространств. Выкладки, основанные на разложении суммы произведений вероятностей в произведение сумм, при этом не изменяются.
Поскольку содержательные законы теории вероятностей относятся к большому числу событий, а наиболее простой способ комбинации событий — предположение их независимости, то простейшая часть этой науки развертывается в прямом произведении пространств, когда число сомножителей стремится к бесконечности. Следует хорошо понять эту ситуацию.
4.2. Испытания Бернулли. Приведем важнейший (по широте употребления) частный пример — испытания Бернулли.
Одно испытание Бернулли — это опыт с двумя исходами, допустим 0 и 1, причем Р(1) =р, Р(0)=</, p+q=l. Единица (допустим) называется успехом, нуль — неудачей. Примером является бросание правильной (тогда p=q=42) или искривленной монеты (тогда p^q). Интерес представляют не одно, а п независимых испытаний Бернулли. Итак, «испытания Бернулли — это независимые испытания с двумя исходами и с вероятностью успеха, не меняющейся от испытания к испытанию». Это — определение на уровне здравого смысла, а на математическом уровне определение выглядит так:
S = (0, 1)Х(0. 1)Х ¦ . . Х(0, 1К п раз
© — последовательность нулей и единиц длины п,
Р(сo)=p*Oq”-W\
где |а(©) — число единиц в последовательности со, которое можно назвать числом успехов в п испытаниях.
Функция от элементарного события в теории вероятностей называется случайной величиной: в данном случае ц(со) зависит от случайного исхода п испытаний Бернулли. Возможными значениями величины |а(©) являются числа 0, 1, 2, ..., п• Подсчитаем вероятность события {ц=т}={й):ц(©) =т). По определению вероятности события (определение 2 § 1)'
25
имеем
P(ix = m}= 2 Р(») = СА"'И 0)
(так как число элементов со, таких, что n(ti>)=m, равно С« )• Набор вероятностей различных значений случайной величины называется распределением вероятностей (или просто распределением). В частности, формула (1) задает так называемое биномиальное распределение (название связано с тем, что правая часть (1) есть член разложения бинома (p+q)n).
Простая формула (1) является удивительно содержательной. Чисто математическое исследование поведения правой части (1) при больших п и различных тир (возможно, зависящих от п) нетривиально настолько, что в данный момент мы им заниматься не будем, заметив лишь, что оно приводит к весьма интересным результатам. С другой стороны, модель испытаний Бернулли часто с той или иной точностью сопоставляется с реальными явлениями.
Пусть, например, завод собирается выпустить п изделий, причем вероятность выпустить бракованное изделие равна р (известна по прошлым данным). Каково распределение вероятностей для числа ц ожидаемых рекламаций? Оценка этого распределения с помощью формулы (1) будет более или менее грубой (в смысле соответствия фактическим данным) в зависимости от того, насколько точно выполняются предположения модели, т. е. независимость брака для разных изделий и постоянство доли брака р. В связи с возможными колебаниями уровня технологии и качества сырья могут возникнуть отклонения от модели испытаний Бернулли, которые можно интерпретировать как нарушение независимости брака для разных изделий (при сохранении доли брака р), либо как колебания вероятности р (при сохранении независимости), либо как оба явления вместе. Но на практике обычно нет сведений, количественно оценивающих отклонения от модели испытаний Бернулли, известна (да и то по прошлым данным) лишь доля брака р в готовой продукции, и ничего, кроме формулы (1), для практического применения не остается.
