Теория вероятностей и случайных процессов - Тутубалин В.Н.
ISBN 5-211-02264-5
Скачать (прямая ссылка):
4.3. Распределение Пуассона. Мы видели, что, в частности, задача проверки гипотезы полной случайности потребовала вычисления вероятностей вида Р<И >а). Конечно,
P(t*>a}= S Р{!А = га}, (2)
т>а
где вероятности Р{ц=т} даются формулой (1). Громоздкость вычислений при больших значениях тип побудила ряд математиков искать для вероятностей (1) и (2) какие-то простые
28
приближенные выражения. Оказывается, что асимптотический анализ этих вероятностей приводит к двум наиболее универсальным законам распределения, значение которых выходит далеко за рамки сравнительно убогой модели испытаний Бернулли. Это нормальное распределение (или распределение Гаусса—Лапласа) и распределение Пуассона. Нормальным распределением займемся позже, а сейчас рассмотрим распределение Пуассона.
Это распределение возникает из формулы (1) при предельном переходе, когда я—><*, р—*-0, но так, чтобы пр->к, где Я>0 — фиксированное число. Так как в пределах одной последовательности испытаний Бернулли р постоянно (и следовательно, не может быть так. чтобы р—*-0), нужно рассмотреть несколько более сложную схему: последовательность серий испытаний Бернулли.
В первой серии пусть будет п — \ испытание с вероятностью успеха рй во второй серии п—2 испытания с вероятностью успеха Pi и т. д., наконец, в л-й серии рассмотрим я испытаний с вероятностью успеха рп каждое, причем npn-+h. Пусть ц.(л) — число успехов в п-и серии; т — фиксированное целое неотрицательное число.
Теорема Пуассона. При я-*-оо выполняется предельное соотношение
P{l*(n) = m}-i^e-\
ml
Доказательство. В точном выражении
рад.т}=ад(|-Рлг
перейдем к пределу при п—*¦<», р„=Х/я+о(1/я), m фиксированном. Поскольку
Р<р<л) = m} = х
т!
х(т+'(т))‘(«Ч-(±)Р
то при этом предельном переходе главный член скобки (Х/я +о(1./л))я будет (Х/л)"* (так как другие члены разложения этого бинома содержат о(1/я) в некоторой степени и ограниченные —зависящие лишь от m — коэффициенты). Скобка (1 —Х/я — о(1/л))п-т имеет пределом е . Учитывая, что л(я—1). . . (я — m -f l)(k/n)n-*\mt получаем утверждение теоремы.
29
В этой теореме числа рт = \те /ml выступают как предельные значения биноминальных вероятностей. Можно ввести случайную величину, для которой вероятности рт будут точными вероятностями различных значений. Действительно, положим Q = {0, 1,. . . , т, . . . учи-
ое
тывая, что 21 Рт=1> введем вероятности элементарных
т—О
событий формулой Р{/я) = рт и введем, наконец, случайную величину | как функцию на множестве й, заданную формулой Тогда, очевидно,
P{? = m} = i%-\ (3>
т\
Такое распределение вероятностей называется распределением Пуассона.
Распределение Пуассона очень часто находится в разумном согласии с экспериментом — от числа частиц, зарегистрированных счетчиком радиоактивного излучения за какой-то промежуток времени, до числа вызовов, поступивших на телефонную станцию, либо числа отказов какого-то оборудования. Оно необычайно удобно для иллюстрации основных вероятностно-статистических понятий, так как формула (3)» зависящая от двух параметров т и Я, несравненно легче поддается табулированию, чем формула (1), зависящая от трех параметров т, п, р. Но для наибольшего удобства обращения с распределением Пуассона нам необходимо понять вероятностный смысл параметра Я, что лучше сделать в рамках общих понятий, связанных со случайными величинами.
§ 5. Случайные величины
Случайной величиной (как уже говорилось в предыдущем параграфе) называется функция !=?((¦)), определенная на множестве элементарных событий й={со}. Пока множество Q не более чем счетно, функция |(<о) совершенно произвольна. Значениями случайной величины могут быть вещественные или комплексные числа, а также кватернионы, матрицы, операторы и т. д. Но для определенности будем говорить о случайных величинах с вещественными значениями.
Точка зрения, с которой функции |=|(со) рассматриваются в теории вероятностей, не совсем похожа на точку зрения математического анализа. На первый план выступают множества уровня функции ?((¦>): пусть аи а2, ..., ап,- ¦ — различные значения случайной величины рассмотрим множества вида {ы:|((о) =а,}, сокращенно обозначаемые {|=а,}. и их вероятности
30
pt » P{|« a,} =» S P(«>).
»:?(м)—а,
Табличка вида
/atj a% . . . Q-п . . . \
\Pi Рш ¦ ¦ ¦ Pn . • • /
называется распределением вероятностей (или просто распределением) случайной величины
Понятно, ЧТО Pi^O и 2/>,-=1. С другой стороны, для любого распределения вида (1), такого, что pi^O и 2/7/= 1, найдется случайная величина с этим распределением. Действительно, достаточно положить Q=(ait а2, ..., а„,...), Р(о,)=рг и |(а,)=а/. (Это тривиальное замечание впоследствии разовьется в так называемую «теорему Колмогорова», определяющую вероятностную меру в функциональном пространстве).
