Теория вероятностей и случайных процессов - Тутубалин В.Н.
ISBN 5-211-02264-5
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим в качестве примера проблему массовых диагностических обследований, ориентируясь на данные, примерно характеризующие флюорографические обследования. Поликлиника не будет вас обслуживать, если вы не пройдете раз в год флюорографию. Это обследование нацелено на выявление грубых повреждений легких типа туберкулезного процесса, которые в течение некоторого времени могут проходить бессимптомно, так что больной о них не знает. Вероятность возникновения такой болезни в течение года у ранее здорового человека Р (Б) составляет величину порядка 0,001. После выявления болезни больные получают специализированное лечение (скажем, в туберкулезном диспансере) и флюорогра-фня им больше не нужна, но поскольку доля больных среди населения невелика, можно грубо сказать, что флюорографией охватывается все население страны (порядка 200 млн человек). Доля Р(3) здоровых (в смысле патологии, выявляемой флюорографией) среди населения составляет примерно 0,999 = = 1—0,001. Здоровому (в указанном смысле) человеку флюорография также не нужна: для него это некоторая повинность, наложенная государством ради своевременного выявления заболевших. Рассмотрим с помощью выведенных формул один из аспектов этой повинности..
Флюорографический снимок бывает довольно мелким и вообще не слишком высокого качества. Способ его обработки должен быть достаточно простым, поскольку речь идет о весьма массовом обследовании. Пусть событие П обозначает трактовку снимка как положительную в медицинском смысле, т. е. как заключение о наличии болезни. При этом возможны и ошибки. Допустим, что удалось подобрать такой хороший способ обработки, при котором Р (П/Б) =0,9 (т. е. обнаруживаются 90% всех больных), но Р(П/3) =0,01, т. е. 1% здоро*
21
вых ошибочно зачисляются в больные. К чему это приведет? По формуле полной вероятности
Р(П)=Р(Б) Р(П/Б) +Р(3) Р(П/3) =
=0,001 0,9+0,999 0,01 =0,0108.
Это означает, что около 1 % людей будут, кроме флюорографии, вызваны на дополнительное обследование (в масштабе страны порядка 2 млн человек ежегодно). Далее по формуле Байеса
Р(Б/П)=__________Р(Б)Р(П/Б)_______=
Р(Б)Р(П/Б) + Р(3)Р(П/3)
__ 0,001-0,9 _ 1
_ 0,001-0,9+ 0,999-0,01 Ю*
Это означает, что из 10 человек, вызванных на дополнительное обследование, 9 являются здоровыми, а беспокоили их напрасно (беспокойство состояло не только в трате времени на дополнительное обследование, но и в возможном внушении мысли о наличии серьезного заболевания).
Таковы неизбежные издержки массовых диагностических обследований. Их можно примерно оценить с помощью элементарных формул исчисления вероятностей.
В наших оценках все цифры грубо прикидочные. На основе реальной статистики их можно заменить более точными (попросту узнать реальную долю больных среди вызванных на дополнительное обследование). Но мы все равно не сумеем однозначно оценить, желательно или нежелательно массовое диагностическое обследование, поскольку слишком разные веши положены иа чашки весов: издержки на обследование самого разного рода, включая напрасное беспокойство здоровых людей, против обнаружения случаев болезни, о которых не знали сами больные (еще вопрос, в какой мере удастся помочь этим больным). Социальные проблемы сложны и не сводятся к оценкам вероятностей, но иметь в виду эти оценки все же нужно, хотя бы ради осознания сложности проблемы.
§ 4. Независимость
4.1. Определение независимости. Сравнение условных и безусловных вероятностей представляет собой некоторый способ оценки влияния наступления одних событий на наступление других, т. е. в каком-то смысле измеряет зависимость событий. Но по массовости и сравнительной простоте приложений особую роль играет случай, когда никакой зависимости нет: условная вероятность равна безусловной. Это означает что
22
p(B) = p(SM)=-^i-,
или
P(AB)=P(A) P(B),
т. с. вероятность совместного наступления двух событий рав* на произведению вероятностей». Это свойство и является математическим определением независимости.
Сложнее обстоит дело с независимостью нескольких событий. Не вдаваясь в обсуждение возможных определений, за-метим, что наиболее важным является так называемое понятие независимости в совокупности.
Определение. События А\, А*........ Ап называются не-
зависимыми в совокупности, если для любых k^rt из них выполняется соотношение
Р(А',Аи . . . Aik) = P(Ait)P(Ait) . . . PU,k).
Заметим без полного доказательства, что для событий, независимых в совокупности, вереи следующий факт: любая комбинация (в смысле теоретнко-множественных операций) одной группы этих событий не зависит от любой комбинации другой группы этих событий.
Примеры.
1. P(AiA2A3) = P(AiA2)-P(AiA2A3)=P(AlA2) —
-Р (А,А2) Р(Лз)=-.Р(ЛИ2) (1—Р(-43)) = P(AiA2) Р(Дз) -= PM«) Р(А2) Р(А3).
2. Р((Л,1М,М8) = Р(АМА2Ал) = Р(АхА->)+Р(А2А3) — -РГ.4„42Лз) = (Р(Л,)+Р(Л2)-Р(ЛИ2)) Р(-4з) =
= Р(Л,и-42)РИз).
