Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Тутубалин В.Н. -> "Теория вероятностей и случайных процессов" -> 4

Теория вероятностей и случайных процессов - Тутубалин В.Н.

Тутубалин В.Н. Теория вероятностей и случайных процессов — М.: МГУ, 1992. — 400 c.
ISBN 5-211-02264-5
Скачать (прямая ссылка): teoriyaveroyatnosteyisluchaynihprocessov1992.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 < 4 > 5 6 7 8 9 10 .. 161 >> Следующая

»
это примеры «экспериментов» с неопределенным исходом. Например, при бросании монеты она может упасть вверх гербом (что мы будем изображать единицей) или цифрой (что мы будем изображать нулем). Не следует непочтительно относиться к бросанию монеты: из многих бросаний можно сконструировать достаточно интересные эксперименты, а из •счетного числа — даже бросание случайной точки на континуум [0, 1]. Для этого нужно на нули и единицы, возникающие при бросании монеты, посмотреть как на знаки двоичной дроби, определяющей вещественное число.
Понятия теории вероятностей применимы не ко всем экспериментам с неопределенным исходом. Давно было замечено, что эксперименты, производимые с помощью достаточно аккуратно сделанных «аппаратов», как, например, монета, игральная кость, рулетка или колода игральных карт, обладают двумя свойствами: 1) непредсказуемостью (в смысле невозможности заранее предсказать исход такого эксперимента); 2) статистической устойчивостью: при большом числе повторений эксперимента частота осуществления того или иного исхода оказывается близкой к некоторому числу, которое и называют вероятностью данного исхода. (Частотой называется отношение числа наступлений данного исхода к числу всех экспериментов).
Иногда вероятности исходов можно угадать из соображений симметрии. Так, для монеты вероятность выпадения герба, очевидно, должна быть такой же, как н для выпадения цифры, т. е. равняться ''/г. Опыты с реальными монетами это подтверждают. Аналогично для игральной кости (кубик с шестью гранями, на которых нанесены точки числом от 1 до 6) вероятность выпадения каждой грани должна равняться '/б-Но опыты это не всегда подтверждают. Впрочем, этн (вообще говоря, ие равные между собой) вероятности все-таки оказываются близкими к ’/в, так что в учебных задачах с хорошим приближением считается, что мы имеем дело с идеальной костью с вероятностями выпадения отдельных граней, равными 76-
Анализ классических монографий и учебников по теории вероятностей (начиная от Лапласа, Пуассона, Чебышева и до наших дней) показывает, что все они начинаются с одной и той же математической модели случайного эксперимента, в которой считается заданным множество Q элементарных исходов эксперимента и вероятности Р(со) каждого элементарного исхода (o^Q. В классических учебниках Q конечно, а в современных (по ряду разумных причин) счетно.
Определение 1. Вероятностным пространством называется не более чем счетное множество й={ю}. каждому элементу о которого поставлено в соответствие число Р (со) >0, :называемое вероятностью ш.
10
При этом должна выполняться единственная
Аксиома.
2РН=1
(сумма вероятностей всех элементарных исходов равна единице”).
Кроме элементарных исходов эксперимента (синоним: элементарные события) в теории вероятностей выделяются события, которые в классических учебниках задавались словесным описанием, например событие, состоящее в том, что при бросании кости выпадает четное число очков. Постепенно было осознано, что событие лучше всего определить как произвольное подмножество множества Q.
Определение 2. Событием А называется произвольное подмножество AsQ. Вероятность Р(А) события А определяется формулой
рМ) = 2р(«*)
ивЛ
(вероятность события есть сумма вероятностей входящих в него элементарных исходов).
Совокупность определений 1 и 2 и единственной аксиомы дает полное описание элементарной модели теории вероятностей. В принципе эта модель достаточна для решения всех задач, связанных со случаями, когда множество элементарных событий дискретно (т. е. конечно или счетно), но перед изучающим теорию вероятностей стоит (вообше говоря, нелегкая) задача перевода формулировок ситуаций, заданных в терминах обычного языка, на язык вероятностного пространства, т. е. Q и Р(и). Если взглянуть на проблему изучения теории вероятностей шире — изучение с целью применения к реальным явлениям, — то вырисовывается еще более сложная картина.
Дело в том, что любая математическая наука (теория вероятностей в том числе) не несет в самой себе никаких указаний на возможные области и способы применений. Например, при изучении математического анализа функций нескольких переменных, векторных (и тензорных) полей совершенно ниоткуда не следует, что этот аппарат находит применение в электродинамике. А скажем, уравнение струны в уравнениях математической физики изучают никак не ради скрипичной струны. Задачник по теории вероятностей суммирует (насколько сумеет) накопленный веками опыт применения этой науки к реальным явлениям. Поэтому ситуации задачника не м;'тут и не должны формулироваться в чисто математических терминах. В реальной научной деятельности предполагается Двухэтажный перевод: реальной ситуации в ситуацию задач-
11
ника, затем ситуации задачника в ситуацию Q, Р(ш). В учебном процессе изучается в основном лишь второй этап.
Надо отметить, что описание множества й обычно не представляет трудностей: это просто множество всех возможных исходов эксперимента. Но задача определения Р(м) часто является трудной. Существует классический прием, так называемая «классическая вероятность», когда множество Q конечно, а все Р (to) равны между собой (в этом случае Р (о» > = = 1 /N, где N*=N(Q) — число элементов в множестве Q). Для любого события А в этом случае имеем
Предыдущая << 1 .. 2 3 < 4 > 5 6 7 8 9 10 .. 161 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed