Теория вероятностей и случайных процессов - Тутубалин В.Н.
ISBN 5-211-02264-5
Скачать (прямая ссылка):
Р(Аг U А% U . . . U К) - S РМ<) “ S Р(A,At) +
t t<i
+ s p(A,A,Ak)—. . . ±P(iM*. . .An). l<f<b
Докажем эту формулу. Для этого нужно доказать, что в сумме, стоящей в правой части, вероятность Р(ю) каждого -iMn учтется ровно один раз. Пусть для определенности, <j}^AiA2...Ak, но (йФАк+\,..., <о&Ап. Тогда в правую часть Р((о) войдет следующее число раз:
с\—cl + cl-. . . ±С* = 1,
так как
О = (1 — 1)* — 1 — С* + С* — С® + . . .±С*.
Формула доказана.
Заметим теперь, что
P(V.. . •^)=il7rL>
так как событие Л1Л2...Л* означает, что первые ? писем попали в свои конверты, а остальные п—k переставились как угодно, Учитывая это, находим, что
16
Р(Л и At и . . . и Ап) = С\ -
/?!
- ci(п-?' +. . . ±с:Д—1-
п\ п\
-± + Л_______ ±_L
2! 31 ' * и! ’
в чем нетрудно узнать отрезок ряда для 1-е_,»2/з.
Таким образом, при большом п вероятность каждому отдельному письму попасть в свой конверт весьма мала, но из большего числа маловероятных событий хотя бы одно произойти вполне может. Этот вывод мы будем развивать неоднократно.
§ 3. Условная вероятность
Малоинтересно рассматривать одно случайное событие: у такого события закон один — может наступить илн не наступить. Сколько-нибудь содержательная наука начинается тогда, когда в рассмотрение вводится много событий. В математической схеме все они являются подмножествами одного Q (определение 1 § 1), но в реальной жизни нужно уметь выбрать Q и определить Р(еа) для шей. Если мы ввели в рассмотрение какие-то события Аь А2,...,Ап, то должны иметь право рассматривать и их комбинации (т. е. то, что получится из них операциями дополнения, суммы и пересечения). Отсюда вытекает, что наименьшее Q, пригодное для описания п событий А|,
А:....Л„, состоит из элементарных событий вида ВуВ2...,Вп,
где каждое может принимать два значения At и At. (Иными словами, если мы ввели в рассмотрение события Аи А2,..., Ап, то мы ввели в рассмотрение все ситуации, когда некоторые из этих событий происходят, а некоторые — не происходят). Следовательно, нужно уметь определить вероятности Р Вп).
Как для этой цели, так и для ряда других применяется понятие условной вероятности. Математический термин часто не имеет ничего общего с общеязыковым смыслом соответствующего слова (вспомните, например, алгебраические «кольца», «поля», «идеалы»). Но в случае термина «условная вероятность» это, к счастью, не так — математический термин точно соответствует общеязыковому смыслу высказывания: «вероятность того, что событие В произойдет, если известно, что событие А произошло».
Вдумаемся, действительно, сначала в общеязыковый смысл слов «условная частота события В при условии, что событие А произошло». Нужно представить себе длинный ряд из п опы-
2-2567 17
тов, в котором событие А произошло пА раз, а событие В — пв раз. Тогда частота события А равна пл/п, а частота события В равна пв1п. Что же такое условная частота события В при условии, что А произошло? Очевидно, из всех п опытов нужно рассмотреть лишь те Па опытов, в которых А произошло, и вы. числить частоту наступления В в этих опытах. Но число наступлений события В в этих опытах есть, очевидно, число наступлений события АВ во всех опытах, и его естественно обозначить Пав. Итак, условная частота события В при условии, что А произошло, есть
плв1пА=*{пАв1п) I (пл/п).
Но если число п всех опытов достаточно велико, то частоты должны быть близки к вероятностям: пав/п**Р(АВ) и п^п** *Р(Л). Примем поэтому математическое определение условной вероятности Р(В/А) события В при условии, что событие А произошло, в следующем виде:
Р(ВМ) = В^1 РМ)
(«вероятность совместного наступления, деленная на вероятность условия»). Предполагается, конечно, что Р(Л)#0.
Учебники (особенно старые) из этого определения считают нужным вывести «теорему умножения вероятностей» з виде
Р(ЛЯ) = Р(Л) Р(В/А),
сопровождая ее «заклинанием» следующего вида: «вероятность совместного наступления двух событий равна вероятности одного из них, умноженной на условную вероятность второго при условии, что первое наступило».
Не следует видеть в этом лишь пристрастие к многократному переписыванию тривиальностей. Это тривиальности, если мы каким-то образом ввели безусловные вероятности, но на практике введение безусловных вероятностей обычно трудно.
Разберем, например, знаменитую ошибку прекрасного ученого Д’Аламбера. Речь идет об одновременном бросании двух монет. В результате этого опыта либо: 1) обе монеты выпадают гербом вверх (ГГ); 2) обе монеты выпадают цифрой вверх (ЦЦ), наконец, 3) монеты выпадают разными сторонами кверху. Д’Аламбер считал, что эти результаты опыта равновероятны (следовательно, вероятность каждого равна */з)- Между тем и до Д’Аламбера, и после Д’Аламбера существовал правильный взгляд на вещи, который состоит в том, что мысленно следует сделать монеты (а также кости и т. п.) различимыми; тогда исход 3) представится как объединение исходов ГЦиЦТ; четыре исхода ГГ, ЦЦ, ГЦ, ЦГ нужно считать равновероятными; в частности, исход 3) имеет вероятность ‘/г-
