Теория вероятностей и случайных процессов - Тутубалин В.Н.
ISBN 5-211-02264-5
Скачать (прямая ссылка):
Иногда модель испытаний Бернулли является весьма точной (бросания монеты и другие более сложные азартные игры).
Но значительное число применений модели испытаний Бернулли связано не столько с тем, что она хорошо или приемлемо описывает некие явления, сколько с тем, что бывает важно выяснить, что эта модель изучаемого явления не описывает. Испытания Бернулли — это простейшая модель полной случайности. Если полной случайности нет, скажем, число бракованных изделий колеблется не так, как полагалось бы по биномиальному закону, то это может быть важной информацией для совершенствования производства.
26
Словом, на примере модели испытаний Бернулли целесообразно познакомиться с проблемой проверки статистических гипотез. Статистическая гипотеза — это утверждение о вероятностях тех или иных событий; проверкой гипотезы называется то или иное сопоставление ее с рядом экспериментов.
Пусть, например, двое играют в орлянку, причем монету бросает все время первый игрок (если монета выпадает гербом, то первый игрок получает с второго копейку, в противном случае отдает второму копейку). Второму игроку интересно знать, честно ли бросает монету первый игрок, потому что, возможно, бывают такие специалисты, которые по своему желанию могут выбросить монету любой наперед заданной стсфоной, хотя на вид монета бросается честно. Пусть для начала монета бросается п=100 раз, после чего второй игрок имеет возможность решить, продолжать дальше игру или иет, на основании изучения результатов 100 бросаний. Как ему поступить?
Для понимания реальных возможностей вероятностных методов нужно прежде всего понять, что так поставленный вопрос ответа ие имеет. Дело в том, что любой результат 100 бросаний монеты, например последовательность из 100 гербов либо последовательность из 100 цифр, либо, наконец, последовательность ГЦГЦ..., в которой герб и цифра строго чередуются, имеет одну и ту же (прир=,/2) вероятность 2-100. Ни одна из последовательностей, которые могут получиться в опыте, не лучше и не хуже, чем другая. Ни одна научная гипотеза (в данном случае — гипотеза испытаний Бернулли) не может быть проверена, если не указать альтернативных гипотез, т. е. каких-то сведений о том, как именно проверяемая гипотеза может нарушаться: гипотеза всегда проверяется против каких-то альтернатив.
В нашем примере простейшая альтернативная гипотеза может состоять в том, что первый игрок, стремясь выиграть побольше, будет выбрасывать герб не с вероятностью V2. а чаще (возможно, не случайно). Тогда число выпадений герба ц будет принимать в каком-то смысле большие значения, чем было бы при вероятности р— '/2- Пусть, скажем, в 100 бросаниях оказалось ц=60 выпадений герба. Мы можем вычислить с помощью таблиц Р(ц^60} при гипотезе p='h (это будет число порядка 2%). Речь должна идти именно о вероятности Р!ц5*60}, но не о вероятности P{(.i=60): кажется подозрительным не то, что число успехов именно 60, а то, что их значительно больше 50. Дальше рассуждаем так: возможно, что первый игрок бросал монету честно, но произошло выгодное для него случайное событие (позволившее ему выиграть 20 ко-ттеек), вероятность которого около 2%; возможно, что первый игрок бросал монету нечестно, следует прекратить игру.
Второй игрок должен принять какое-то решение.
27
Рассмотрим последствия различных решений второго игрока. В азартные игры играют не ради наживы (теоретические соображения, в том числе довольно сложные, в которые мы сейчас не будем вдаваться, показывают, что в азартных играх с равноправными игроками типа орлянки наживы быть не может), а ради получаемого от игры удовольствия. Если же партнер оказался шулером, то об удовольствии речи быть ке может. Таким образом, если второй игрок будет прекращать игру в том случае, если в первых 100 бросаниях его партнер выбросит герб 60 раз или более, то лишь примерно в 2% встреч с честными игроками он напрасно бросит игру (т. е., так сказать, лишится 2% удовольствия).
Иначе можно сказать, что вероятность напрасно обидеть честного партнера составляет около 2%. Различные логические видоизменения этого утверждения типа: «если ц<60, то с вероятностью 0,98 партнер — не шулер» либо «если ц>60, то с вероятностью 0,98 партнер — шулер» — будут неверными; несостоятельными в данной постановке задачи будут и вероятностные оценки надежности избавления от шулеров, которая достигается ценой потери 2% удовольствия. Дело в том, что шулер никак не описан: в сущности, о нем сказано лишь то, что он обладает непостижимыми для обычного человека (второго игрока) способностями. Не сказано и какова доля шулеров среди возможных партнеров: например, если их нет вовсе, то партнер — не шулер с вероятностью 1, а не 0,98 или 0,02. Если же шулера имеются и используют свои сверхчеловеческие способности для того, чтобы не попадать под действие критерия (ц>60), имитируя при первых 100 бросаниях полную случайность, то применение этого критерия абсолютно ничего не дает в смысле избавления от шулеров,
Мы встретимся в данной книге с ситуацией, когда альтернативная гипотеза описывается не в крайне неопределенной форме «партнер—шулер», а также в виде вероятностной гипотезы, которая приписывает наблюдаемым событиям вероятности, не совпадающие с теми, которые приписывает нм проверяемая гипотеза. В этом случае рассмотрение проверки гипотез можно углубить, дав, в частности, вероятностную оценку гарантий, связанных с применением того или иного статистического критерия.
