Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Тутубалин В.Н. -> "Теория вероятностей и случайных процессов" -> 5

Теория вероятностей и случайных процессов - Тутубалин В.Н.

Тутубалин В.Н. Теория вероятностей и случайных процессов — М.: МГУ, 1992. — 400 c.
ISBN 5-211-02264-5
Скачать (прямая ссылка): teoriyaveroyatnosteyisluchaynihprocessov1992.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 < 5 > 6 7 8 9 10 11 .. 161 >> Следующая

P(i4) = T.P(«) = ^dI,
«ел N(Q)
где N(A) — число элементов в множестве А.
На классическом языке все шеЛ называются элементарными исходами, благоприятными для события А, и получаем классическое «заклинание»: вероятность события равна отношению числа исходов, благоприятных для данного события, к числу всех возможных исходов.
Следует отметить, что классики теории вероятностей, скажем Лаплас, прекрасно понимали, что элементарные исходы могут быть и не одинаково вероятными. Но «классическая вероятность» закрепилась в науке как прием, позволяющий быстро и легко (хотя, быть может, и неверно) решить задачу об определении Р(ш). Это решение обычно мотивируется теми или иными соображениями о «симметрии», т. е. соображениями теоретико-групповыми.
Рассмотрим пример древней процедуры жеребьевки, которая возобновляется и в наши дни при каждой сдаче экзамена группой студентов. Пусть имеется N экзаменационных билетов, из которых п «счастливых» (в том смысле, что все студенты их знают), а N—п «несчастливых» (т. с. ни один из студентов их не знает), причем для простоты обозначений всех студентов тоже N. Жеребьевка (т. е. раздача билетов) происходит по очереди: сначала берет билет первый в очереди студент, затем второй и т. д. Понятно, что для первого студента вероятность вытащить счастливый билет равна nfN, но как быть со вторым? Если первый студент вытащит счастливый билет, то шансы второго составят (п—1 )f(N—1), т. е. уменьшатся, а если первый студент вытащит несчастливый билет, то шансы второго будут n/(N—l)>n/N. Для третьего студента нужно рассмотреть еще более сложный набор ситуаций и т.д. Пусть Aj — событие, состоящее в том, что /-й в очереди студент вытащит счастливый билет. Попытаемся найти Р(Л,), введя множество Q элементарных событий так, чтобы они были равновероятными.
12
Предлагается под отдельным элементарным событием ш понимать тот список, который окажется в руках у экзаменатора после окончания раздачи билетов:
(в первой строке — номера студентов, во второй строке — номера билетов). Если угодно, это подстановка из N чисел. Номера билетов iu 1*2,..., in как-то зависят от того порядка, в котором их разложил на столе экзаменатор. Можно предположить, что экзаменатор положил сверху счастливые билеты, а несчастливые засунул под них. Тогда первым студентам в очереди будет лучше (если они не будут хитрить, а возьмут попросту те билеты, которые лежат сверху). Можно предположить, что экзаменатор сделал наоборот. Оба этих случая не приведут к задаче на классическую вероятность. Но если предположить, что экзаменатор подобными пустяками не занимается, то тогда задача инвариантна относительно любых перестановок номеров билетов. Но перестановка номеров м и
i, эквивалентна перестановке первого и /'-го студентов, так что ясно, что должно быть Р (А/) = Р (А\) =n/N.
Можно сосчитать эти вероятности и из классической формулы. Очевидно, что N(Q)=N\ Для подсчета N(Aj) заметим, что для <оеЛ/ номер »/ может принимать п различных значений; it — все значения, кроме t/, т. е. N—1 значений, i2 — все значения, кроме i/ и й, т. е. N—2 значений и т. д. Поэтому N(A,)=n(N— 1)! и Р(Л/) =N(A,)fN(Q) =n/JV.
Таким образом, вероятность вытащить счастливый билет не зависит от места в очереди: не нужно ни приходить пораньше, чтобы занять очередь, ии стараться оказаться в конце очереди. Этот вывод целиком зависит от предполагаемой равновероятности элементарных событий. Каким образом можио было бы обосновать это допущение?
Имея в виду связь между вероятностью и частотой, можно было бы представить себе экспериментальную проверку: в длинном ряде экспериментов определяются частоты наступления различных элементарных событий; если эти частоты оказываются близкими, то мы заключаем, что соответствующие вероятности в самом деле равны. Однако элементарных событий у нас N1; чтобы частоты их наступления сделались похожи иа вероятности, необходимо провести столько экспериментов, чтобы каждое элементарное событие произошло хотя бы несколько раз, т. е., скажем, 10ЛМ или 100ЛП экспериментов. Ясно, что это совершенно невозможно уже при умеренном N. Следовательно, мысль об экспериментальной проверке равновероятности должна быть оставлена.
Теоретические соображения о равновероятности сводились у нас к тому, что экзаменатор не станет заниматься такими
13
пустяками, как создание заведомо неравновероятной ситуации. Это совсем не означает, что автоматически создается равновероятность: например, опыты с игральными картами показали, что колоду карт нужно очень долго тасовать, чтобы достаточно хорошо разрушить какой-то первоначальный порядок. С экзаменационными билетами этого никто не делает.
Поэтому правильнее будет сказать, что если различные элементарные события неравиовероятны, то ни экзаменатор,, ни студенты совершенно не знают, какие из этих событий имеют большие вероятности, а какие — меньшие. Это незнание мы и моделируем в математической модели с равновероятными элементарными событиями. Если угодно, наша равновероятность в этой задаче субъективная; несмотря на все попытки изгнать субъективизм из науки, что-нибудь от него всегда остается.
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 < 5 > 6 7 8 9 10 11 .. 161 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed