Теория вероятностей и случайных процессов - Тутубалин В.Н.
ISBN 5-211-02264-5
Скачать (прямая ссылка):
Начнем с теоретического описания модели Крицкого — Менкеля. Изложение в гл. 2 монографии [25] имеет один эстетический дефект. Он часто бывает присущ сочинениям, которые по жанру и содержанию являются математическими, но написгны авторами, которые (по образованию либо по складу мышления) не являются математиками: не выбирается кратчайший и наиболее ясный путь изложения, в котором посылки однозначно увязаны с результатом, а математические формулы наиболее коротки. Сначала рассматривается постановка задачи в ненужной общности, от которой потом приходится отказываться, несколько путаются обозначения и т. д. Но проверка показывает, что иа самом деле все верно.
Сформулируем поэтому модель, не вполне придерживаясь текста первоисточника. Основные понятия модели — приток воды в море Vi (за i-й календарный год), е< — испарение воды в i-м году, Wi — объем воды в море в конце i-ro календарного года. Приток Vt и объем Wi измеряются попросту в кубических километрах, а испарение ei (точнее, видимое испарение, т. е. разность между количеством испаряющейся воды с 1 км2 площади моря и количеством выпадающих на этот 1 км2 осадков) измеряется толщиной слоя видимого испарения, т. е. в миллиметрах. Еще в модели участвует площадь поверхности моря г* (на конец i-го года), которая предполагается линейно связанной с объемом Wi. Суммар-
373
ное испарение воды за t-й календарный год принимается равным ei(Fi-i+Fi)/2, поскольку средняя площадь моря в i- м году есть (Fi-i+Fi)/2.
Качественно структура модели состоит в следующем. Приток воды Vi и испарение е* определяются метеорологическими условиями, и лучшее, что мы можем о них сказать,— это считать их случайными процессами (по имеющимся данным — независимыми друг от друга). Если бы мере представляло собой бассейн с вертикальными стенками, то объем воды в море в я-м году был бы суммой случайных величин (разностей между притоком и испарением за прошлые годы), т. е. уровень моря совершал бы возрастающие колебания, наподобие траектории броуновского движения. Единственный известный нам механизм стабилизации этих колебаний состоит в том, что при возрастании (убывании) объема воды в море увеличивается (уменьшается) его поверхность, однозначно связанная с потерями воды на испарение. (Другие потенциально мыслимые механизмы, например. тектонические движения дна, малоизвестны и не рассматриваются.) Посмотреть, насколько эффективным может быть этот механизм стабилизации, есть дело, несомненно, благое и интересное.
Гидрологи считают, что в последние несколько десятков лет притоки Vi в Каспийское море определялись достаточно точно. Есть, правда, подземный сток, который оценивается довольно произвольно в 3 км3 в год, но он незначителен (порядка 1% общего притока). Таким образом, несколько десятков наблюдений Vi имеется. Что касается наблюдений испарения еи то они производятся в основном балансовым методом: считается, что по уровню моря мы достаточно точно оцениваем объем воды в нем, а тогда по известному притоку мы определяем испарение. Есть, правда, другие методы дающие не вполне согласующиеся результаты, но на этих противоречиях мы остановимся позже.
Теперь выпишем математическую модель. Пусть е*=
— <ei> — среднее испарение, V,=<Vi> — средний приток. Если бы случайных колебаний притока и испарения не было (т. е. все V/ равнялись Vа все е, равнялись е,), то уровень моря соответствовал бы такой его площади Fчто
V.=F.e..
По площади F„ однозначно устанавливается объем моря U". и соответствующий уровень Z\ называемый уровнем тяготения. Для Каспийского моря в [25] этот уровень Z* принимается равным —28,5 м (грубо говоря, по отношению к уровню Балтийского моря). Если принять линейную связь между объемом воды Wi и площадью моря Fr.
374
Fi=Fo+AWi
(где F0 и А известны по морфометрическнм данным) и учесть, что испарение е,- в i-й год разумнее относить к средней площади моря
l/2(Fl-i+Fi)=F0+\f2A(Wl.t+Wl)^FICf,
то получится следующее балансовое уравнение:
&Wt = Wt-We-l-Vi-elF0-il2etA[Wi-l+Wi). (1)
Из этого уравнения можно было бы выразить Wi как функцию от Wi-и случайных величин V, и известных чисел А и F0. Получилось бы вполне пригодное для исследования методом Монте-Карло уравнение (при условии, что мы умеем моделировать последовательности {в,}, {V;}):
W, - l~U2*iAWi-i + . (2)
1 1 + |/2*И 1 + 1/2«{Д '
Нетрудно понять (интегрируя уравнение (2)), что то обстоятельство, что коэффициент, стоящий в правой части (2) при W-и всегда меньше 1, делает это уравнение устойчивым. Но аналитическое исследование уравнения (2) затруднительно, и Крицкий и Менкель линеаризуют уравнение (1), считая, что Wi мало отличаются от w*, F, мало отличаются от F,, <?,• мало отличаются от е.. Тогда связь между площадью и объемом моря целесообразно записать в форме
F,—F.+A(Wi-W.),
в качестве переменных модели ввести wi=\Wi—W„ Vi— =Vi—e,F„, после чего балансовое уравнение (1) примет форму
