Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Тутубалин В.Н. -> "Теория вероятностей и случайных процессов" -> 145

Теория вероятностей и случайных процессов - Тутубалин В.Н.

Тутубалин В.Н. Теория вероятностей и случайных процессов — М.: МГУ, 1992. — 400 c.
ISBN 5-211-02264-5
Скачать (прямая ссылка): teoriyaveroyatnosteyisluchaynihprocessov1992.djvu
Предыдущая << 1 .. 139 140 141 142 143 144 < 145 > 146 147 148 149 150 151 .. 161 >> Следующая

им, н ия,’ а также, что иы> и иы не коррелированы друг с другом, причем M|uwJ2=M|ujvJ*. Положим \r\=*Vr\+i\+r\t MluJ2 - DLL(\r)\, MluJ* - M|«J* - DHIt(r).
Первая из этих функций DLL(\r\) называется продольной структурной функцией, вторая Дм (И) — поперечной. Оказывается, что несжимаемость среды, в которой рассматривается турбулентный поток, ведет к соотношению
ОЫИ)-Огх(И)+^^т^.
2 d\r\
358
так что корреляционная структура локально изотропной турбулентности однозначно определяется единственной функцией All (И) скалярного аргумента |г|.
(Читатель должен иметь в виду, что мы даем здесь упрощенное резюме некоторой алгебраической по методам теории, изучающей корреляционный тензор локально-изотропного поля.)
Но самое интересное состоит в том, что на основании теории размерности (если угодно, тоже алгебраической теории, изучающей свойства, инвариантные относительно преобразований подобия) можно пойти еще гораздо дальше в уточнении вида функции DLL{\r\).
Существует классическое понятие коэффициента кинематической вязкости v некоторой среды; в частности, для воды v=10-2 см2/с, для воздуха v=15 • 10-2 см2/с. Кроме того, вводится понятие средней диссипации (т. е. перехода в тепло) энергии е в данном турбулентном потоке (за единицу времени в единице массы среды):
где черта сверху обозначает усреднение по ансамблю турбулентных движений с фиксированными внешними условиями. (В смысл последнего выражения лучше глубоко не вдаваться, полагая, что усреднение можно понимать как усреднение по времени в произвольной точке данного в единственном экземпляре турбулентного потока.) В отличие от кинематической вязкости, диссипация е в эксперименте бывает известной очень грубо.
Из размерных параметров е и v можно единственным способом составить комбинации, которые имеют соответственно размерности длины, скорости и времени:
Величина т] называется колмогоровским масштабом турбулентности.
Подход А. Н. Колмогорова заключается в том, что если выразить длину, скорость потока и время в безразмерных величинах с помощью введенных единиц, то статистические характеристики этих безразмерных величин будут уже совершенно универсальными, не зависящими от конкретного потока. Точнее говоря, знаменитые «гипотезы подобия» А. Н. Колмогорова состоят в том, что 1) статистические характеристики приращений определяются параметрами е и v; 2) в области инерционного интервала, т. е. достаточно больших масштабов (|r|>T]=va/4ei/4), вязкость v не играет роли. Неболь-
Tj — v3/is— i/4t _ (•ve)1/4, тч = v^e-1'2.
359
ем*/с2 см3/с 2
Рис. 12. Измерения спектров: а) вертикальной и б) горизонтальной скорости ветра на высоте 300 метров (источник: [28])
шая математическая обработка этих гипотез приводит к формуле
Du(lr\) — v\ Pit(|r|/rj), (ve)‘/«,
причем при * |г|/т; > 1
KlW *
где С — так называемая константа Колмогорова.
После элементарных преобразований получаем
DLL(\r\) ~ Сг^гр'3. (2)
где | г | достаточно велико (но много меньше, чем характерный размер турбулентного потока).
Формула (2) называется «законом двух третей» Колмогорова. В терминах спектральной плотности gi.(X) ему соответ-ствует закон
С, ~ С/4, Х«1/ч, (3)
называемый «законом пяти третей» Обухова.
Теоретические результаты теории турбулентности были опубликованы в 1940—1941 гг. С физической точки зрения они не вполне бесспорны (имеется возражение, принадлежащее Л. Д. Ландау [28, с. 517}). Но в последующие двадцать лет они получили полное экспериментальное подтверждение. На рис. 12 из [28] приводятся (в логарифмическом масштабе
360
Рис. 13. Сделанные разными авторами измерения продольного спектра скорости (источник: [28])
по осям) результаты измерений спектральной плотности скорости ветра. Проведена также прямая Л5/8. Прн подборе константы (допускаемом уравнением (3)) согласие с законом пяти третей хорошее. Правда, разброс экспериментальных данных не похож на разброс независимых случайных величии, как теоретически должно было бы быть при оценке спектральной плотности в разных точках.
На рис. 13 также из [28] приводятся измерения спектральной плотности во всем интервале масштабов. В тех опытах, где вообще существовал инерционный интервал масштабов (где должен выполняться закон пяти третей), универсальная зависимость плавно переходит в этот закон. Разброс точек больше напоминает разброс независимых случайных величии, но объяснение этому, кажется, в том, что на рнс. 13 сведены результаты разных авторов.
Совсем коротко остановимся на применениях теории локального строения турбулентности. Конечно, эта теория не имеет отношения к крупномасштабным процессам (например, к прогнозу погоды). Но с помощью нее удается исследовать некоторые другие явления, например дрожание изображений звезд в телескопах или мерцание (т. е. колебание интенсивности) света звезд и других удаленных источников света. Это объяснение составляет предмет довольно сложной физической теории, изложенной, например, в кинге [37]. Приведем рис. 14, заимствованный из этой книги. Видно, что при
Предыдущая << 1 .. 139 140 141 142 143 144 < 145 > 146 147 148 149 150 151 .. 161 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed