Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Тутубалин В.Н. -> "Теория вероятностей и случайных процессов" -> 149

Теория вероятностей и случайных процессов - Тутубалин В.Н.

Тутубалин В.Н. Теория вероятностей и случайных процессов — М.: МГУ, 1992. — 400 c.
ISBN 5-211-02264-5
Скачать (прямая ссылка): teoriyaveroyatnosteyisluchaynihprocessov1992.djvu
Предыдущая << 1 .. 143 144 145 146 147 148 < 149 > 150 151 152 153 154 155 .. 161 >> Следующая

Мы имеем дело, конечно, с очень ярким примером переоценки ученым возможностей созданной им теории, доходящей в данном случае до очевидного абсурда. Действительно, что именно следует трактовать как реализацию случайного процесса? Неужели в чистом виде траекторию полета самолета? Такие траектории никакого статистического ансамбля не образуют (поскольку очень зависят от конкретной тактической обстановки). Может быть, в противозенитном маневре и есть какая-то статистическая составляющая, но прежде всего нужно было бы сказать, как ее выделить.
Другое дело, что разработанные методы могли оказаться полезными для решения других задач: каких-то фильтраций сигнала. Всякого рода фильтры в настоящее время применяются широко, и нет сомнений, что в идейном отношении их истеки восходят, в частности, и к работам Н. Винера. Впрочем, если результаты фильтрации оказываются в практическом отношении вполне удовлетворительными, то это не означает, что их качество вполне отвечает тем ожиданиям, которые вытекают из принятой вероятностной модели (сравнение этих ожиданий с фактически достигнутыми результатами обычно не проводится). Так, никто не спорит с тем, что среднее арифметическое из наблюдений — вещь полезная (если во всех наблюдениях измеряемая величина постоянна), но доверительные интервалы представляют собой нерешенную проблему.
Было бы желательно рассмотреть с последовательно вероятностной точки зрения конкретные примеры каких-либо довольно сложных фильтраций, но автору данной книги такая возможность ие представилась.
Коротко рассмотрим ситуацию, сложившуюся с прогнозом случайных процессов.
3.2. Математические основы. В ширпотребе статистических прогнозов, предиазначеином для использования в приложениях, ничего, кроме тех или иных вариантов корреляционной теории, не существует. Типичной является следующая задача.
Пусть стационарный процесс \(t) (с нулевым математическим ожиданием) наблюдается при f<0 (т. е. известны
24-2567
369
значения %(t), 0), а требуется возможно точнее предска-
зать 1(т) при некотором т>0. Ответом является проекция | элемента гильбертова пространства % (т) на подпространство, порожденное величинами {1(0* *<0}.
Если бы речь шла о проекции |(т) на линейную оболочку конечного числа случайных величин \(U), ..., то для проекции и для среднеквадратической ошибки прогноза получились бы громоздкие выражения через ковариации величин ..., Wn), 1(т) между собой. Привлекательная сто-
рона задачи прогноза для случайных процессов, т. е. для бесконечного числа моментов 1^0, состоит в том, что для ошибки прогноза, а в некоторых случаях — и для самого прогноза (т. е. соответствующей проекции) получаются простые явные формулы (см., например, книгу Ю. А. Розанова
[301 или справочник Ю. В. Прохорова и Ю. А. Розанова 29]).
Но при этом возникают некоторые математические результаты, которые трудно признать соответствующими практической реальности. Например, оказывается, что значение 1(т) при т>0 может быть во многих случаях точно предсказано по значениям {1(0. ^0} при сколь угодно большом т. (Такие процессы называются линейно-сингулярными.) Практически естественно рассмотреть такой класс процессов, для которых дисперсия ошибки прогноза стремится при т—>-оо к дисперсии о2=Щ(т). Такие процессы называются линейно-регулярными. Оказывается, что для того, чтобы процесс был лннейно-регулярным, необходимо и достаточно, чтобы его неслучайная спектральная мера допускала спектральную плотность /(А,), причем сходились интегралы
К
a) J log /(X)dA> —оо в случае дискретного времени;
б) Jlog ЦХ) -^у>—оо в случае непрерывного времени.
“ОО
В частности, обращение в нуль спектральной плотности f{K) на любом множестве значений X положительной лебеговой меры делает процесс лннейно-сннгулярным.
В случае непрерывного времени довольно естественно бывает предположить, что мы имеем дело с процессом 1(0 с ограниченным спектром частот: /(А.) =0 при 1x1 >Л. Оказывается, такое предположение ведет к возможности безошибочного прогноза процесса 1(0. Иначе это можно объяснить следующим образом. В спектральном разложении самого процесса
370
?(/)- J «'«?(*)
—оо
можно считать, что интеграл берется лишь по области {Л:1М<Л}. Тогда траектории процесса, очевидно, допускают производные всех порядков, а небольшое уточнение показывает, что реализации %(t) можно считать аналитическим» функциями t. Но аналитическая функция восстанавливается однозначно по своим значениям на вещественной полуоси.
Вывод о возможности точного предсказания будущего значения процесса с ограниченным спектром по его прошлым значениям явно не имеет практического значения. С другой стороны, для линейно-регулярных процессов интервалы времени, на которые возможно эффективное прогнозирование, обычно оказываются (с практической точки зрения) слишком малыми.
Короче говоря, имеется существенный разрыв между точно решаемой математической задачей и практической ситуацией, в которой нужно еще определить корреляционную функцию (либо спектральную плотность) процесса по статистическим данным.
Предыдущая << 1 .. 143 144 145 146 147 148 < 149 > 150 151 152 153 154 155 .. 161 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed