Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
dy
диференциального уравнения —-a{t)y, где a(t) е С[70, + оо), необходимо и
dt
t
достаточно, чтобы lim f a(s) ds = а0 <+ оо, а для асимптотической устойчивости
/-++00 /
необходимо и достаточно, чтобы а0 = 0.
39. На основании теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению исследовать на устойчивость нулевое решение системы дифференциальных уравнений
Ответы: а) Устойчиво; б) Неустойчиво; в) Неустойчиво; г) Устойчиво.
40. Построить функцию Ляпунова и исследовать на устойчивость нулевое решение системы дифференциальных уравнений
Ответы: а) о(х, у) = х2 + у2, устойчиво; б) о(х, у) = х2 + у4, устойчиво;
в) о(х, у) = х2 + у2, неустойчиво; г) и(х, у) = Зх2 + 2у2, устойчиво.
41. При каких значениях а и b нулевое решение уравнения асимптотически устойчиво
а) ут + 3 у" + ау' + Ь у = 0; б) у1У + ут + а у" + у' + b у = 0.
Ответы: а) 0 <Ь < За; б) Ь> 0, a>b +1.
42. Найти особые точки и схематически нарисовать расположение интегральных кривых (или траекторий) на фазовой плоскости
Указание, а) Особая точка (0, 0) - узел; б) Особая точка (-2, -1) - узел; в) Особая точка (1, - 2) - фокус; г) Особые точки (1,1) - фокус, (-1, -1) - седло; д) Особые точки (-1, 0), (1, 0) - центр, (0,1), (0,-1) - седла.
43. Выяснить наличие предельного цикла автономной системы и изобразить поведение траекторий
Указание, а) Особая точка (0, 0) - устойчивый фокус, предельный цикл х2 +у2 =1; б) Особая точка (0, 0) - устойчивый фокус, предельный цикл существует и находится в кольце 1 <х2 + у2 <2 .
ГЛАВА 4 Интегральные уравнения
§ 1. Основные понятия. Примеры
Интегральными уравнениями называют функциональные уравнения, в которых неизвестная функция находится под знаком определенного интеграла. Приведем примеры :
y{x)-X\y{t)dt = \, хеД; (1)
О
X
у(х)+\(x-t)y(t)dt = 0, xeR; (2)
0
х
j ехЧ y(t)dt = х, xeR) (3)
о
1
j;(x) - 11 y(t) dt = 0, 0 < x < 1; (4)
0
7Г
y(x) -Aj sin x-y2(t)dt = cosx, 0 < x < n ; (5)
0
{ y(t) dt = 1; (6)
0
{ -y - = sm x, x > 0. (7)
0 л/x-t
Интегральные уравнения делятся на линейные и нелинейные. Интегральное уравнение называется линейным, если в него неизвестная функция входит линейно. Линейные интегральные уравнения можно написать в следующем виде:
ь
y(x) + AjK(x,t)y(t)dt = /(х), а < х <Ь , (8)
а
где K(x,t) и /(х) - заданные известные функции, у = у(х) - неизвестная
функция, А - числовой параметр. Здесь функция K{x,t) называется ядром, а
/(х) - правой частью или свободным членом интегрального уравнения (8).
Если f(x) = 0, то интегральное уравнение (8) называется однородным и оно имеет вид
ь
у(х) + A\K(x,t)y{t)dt = 0 . (9)
а
Интегральное уравнение, которое не является линейным, называется
нелинейным. Среди приведенных примеров интегральное уравнение (5) является нелинейным, а остальные - линейными.
Функция у = (р{х), определенная на сегменте [а, 6] и при подстановке в уравнение (8) обращающая его в тождество по переменной х, называется решением интегрального уравнения (8).
Линейные интегральные уравнения (8) в зависимости от гладкости ядра K(x,t) в замкнутом квадрате a<x,t<b делятся на различные классы. Если,
например, ядро K(x,t) является непрерывным при a<x,t<b, то линейное интегральное уравнение (8) принадлежит к классу интегральных уравнений Фредгольма второго рода.
Интегральное уравнение (4) является примером линейного интегрального уравнения Фредгольма второго рода.
Интегральное уравнение Фредгольма первого рода характеризуется отсутствием слагаемого, содержащего неизвестную функцию вне интеграла. Оно имеет вид
ь
Aj K(x,t)y(t)dt = f(x), a<x<b . (10)
a
Простейшим уравнением типа (10) является уравнение (6), где K(x,t) = 1, А = 1 и f(x) = 1.
