Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
26. Доказать, что функция Jv(x) при v>-\ не может иметь и чисто мнимых нулей. Указание. Подставить число ±ib в формулу (16) § 9.
27. Показать, что функция Jv(x) при v>-\ имеет только вещественные нули.
Указание. Воспользоваться асимптотикой функции Jv(x) при х-»+оо.
28. Доказать свойство ортогональности функции Бесселя Jv(x), т.е. показать, что при у>-1
0, i Ф j
\xJv
х
Л7
/
"'7
dx =
где д. - положительные корни уравнения Jv(x) = 0. Указание. Воспользоваться равенством (*) из задачи 24.
29. Доказать, что уравнение aJv(x) + fixJ'v(x) = 0, где а и - заданные
действительные числа, а2 + ?}2 > 0, при v>-\ и a/f} + v> 0 имеет только вещественные корни. Указание. Использовать свойство ортогональности функции
ЛОО-
424
30. Пусть произвольная непрерывная на [0,/] функция /(х) представлена в виде суммы ряда
+00 v
/(*) = 2>Л(А т)> 0 < х</, (**)
*=1 I
где //,, ju2,..., цк,... - положительные корни уравнения /Дх) = 0, v>-\,
расположенные в порядке возрастания. Доказать, что коэффициенты ак данного разложения находятся по формулам
2
а, =
к 1гЛМ о
\xf(x)Jv
с \ X
V
dx.
Указание. Воспользоваться результатом задачи 28.
31. Доказать, что если функция /(х)е С[0,/]пС’ (0,/), /(/) = 0, то ряд (**) абсолютно и равномерно сходится на [0,/] к функции /(х).
Указание. См. [3, с. 649 - 651].
32. Найти решение уравнения, удовлетворяющего указанным граничным условиям:
а) у' + у = 1, у(0) = 0, У(я/2) = 1;
б) у”-2у'-3у = 0, у(0) = 1, у(+ оо) = 0;
в) у”-у'-2у = 0, у'(0) = 2, >*(+ оо) = 0;
г) х2>»''-2х>'' + 2>' = 0, у(х) = о(х) при х0 , >>(1) = 3.
Ответы: а) у (х) = 1 - sin х - cos х; б) у (х) = е"х; в) у (х) = -2 е~х; г) у (х) = Зх2.
33. Построить функцию Грина краевой задачи :
а) у" = -/(х), у (0) = у (1) = 0. Указание. См. пример 1 § 9.
б) / + У = -/(х), У(0) = 0, у(я) = 0;
в) y* + y' = ~f(x), у(0) = 0, У (1) = 0 ;
г) У + у = -/(х), у (0) = у (л-), У (0) = у'(я);
д) (х у')' - — у = -f{x), т> 0, у (0) - ограничено, у (1) = 0.
х
[cosxsinf, x<t, x<t,
Ответы: 6) G (х, t) = —j в) G (x, t) = \
[sinxcosf, x>t. [l-e1, x>t.
DGh o = i|Sin(jC“0, X-t'n)GU,» = -l\x4,"-rm)’ X~‘’
2[sin(i-x), x>t. 2[(xm-xm)tm, x>t.
34. Оценить сверху и снизу решение краевой задачи : х2у+ 2хУ~2>> = -/(х), у(х) ограничено при х->0 + 0 и х -»+ оо, и его первую производную, если известно, что 0<f(x)<M при всех х>0. Указание. См.
м мм
решение примера4 § 9. Ответ:-< у (х) < 0,-<у'(х) < — .
2 Зх Зх
35. Найти собственные значения и соответствующие собственные функции краевой задачи :
а)у" = Ау, у(0) = у(1) = 0,1>0- б)у0 = Яу,у'(О) = О,у(1) = О-
в) У" = Лу,у'(0) = у'(1) = 0; г) у"-2у' = Ху, _у(0) = >>(/) = 0.
Ответы: а) Ак = -
гкплг
v I J
к-1,2,... , ук(х) = sin
кпх
б) А, =-
¦ + к
я
, к = 0,1, 2,... , yt(x) = cos
кпх
¦ + к
гпклг
х; в) Хк=-
I
, . . . пкх
Ук (х) = е sin——
j;t(x) = cos----, ? = 0,1,2,...; г) А* =-1-
/ \ I j
к = 1,2,....
36. Построить общее решение системы линейных дифференциальных уравнений
х' = 2 x-y + z, (
. „ \ х = 2х + у+ 2е‘,
г){у = 2y-z, б) \
I у = х + 2у -Зе .
y' = 2y-z, z' = z;
х = Сх е2> -С2 te2>.
Ответы: а)
у = С2 е2‘ + С3 е1, б)
z = С3 е‘.
\х = Схе‘ + С2е +te -е ,
\у = -Схё + С2 еъ> -(t + Vje1 -2ем ).
dx dy ...
37. Доказать, что нулевое решение системы — = у, — = -J (х) устойчиво,
dt dt
если функция /(х) непрерывна на числовой прямой, /(0) = 0, х-/(х)>0 при
X
хФ 0 . Указание. Воспользоваться функцией Ляпунова v(x, у) = у2/2 + |/(г) Л.
о
38. Доказать, что для устойчивости нулевого решения линейного
