Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Сабитов К.Б. -> "Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения " -> 182

Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.

Сабитов К.Б. Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения — М.: Высшая школа, 2005. — 671 c.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка): funkcionalnieuravneniya2005.djvu
Предыдущая << 1 .. 176 177 178 179 180 181 < 182 > 183 184 185 186 187 188 .. 283 >> Следующая

J = f(x), 0 <x<h, (3)
о ^х-т]
которое называется интегральным уравнением Абеля. Как видим, уравнение (3) является частным случаем линейных интегральных уравнений Вольтерра второго рода со слабой особенностью.
Если, решив уравнение (3), найдем функцию <р(т]), то сможем составить уравнение искомой кривой:
--------= <p(v)-
sin pin)
dt]
Отсюда находим т] = Ф(р) . Далее, как известно, — = tgp, поэтому
de_ dy _ Ф'(p)dp tg Р tg р
Интегрируя последнее уравнение, имеем
3 tg Р
Тогда искомая кривая определится параметрическими уравнениями
4 = Ф1(Р),г1 = Ф(Р),
где ре (л/2, л) по указанному рис. 2. В частности, при f0(x) = const такой
кривой является циклоида.
Решение уравнения (3) легко выписывается в явном виде, если воспользоваться интегралом
рг dx
J г ' = = л (4)
<iy(p — x)(x — q)
при любых конечных р, q, р> q. Интеграл (4) легко вычисляется при помощи замены переменной
p+q p-q . х = ——- + ——-sine?,
2 2
которая приводит его к следующему виду:
Р j */2
|-=—— = J d<p=n.
3y/(p-x)(x-q) J/2
Предположим, что существует решение <р(т]) уравнения (3). В тождестве
(3) заменим х на s, умножим обе части на . ^ и проинтегрируем по s от О
\x-s
о л/x-S ' о у/х-s
В левой части последнего равенства, меняя порядок интегрирования, имеем
В силу (4) внутренний интеграл в левой части равенства (5) равен л. Дифференцируя это равенство по х, находим искомое решение
Если функция f(x) имеет непрерывную производную, то интегрируя по частям под знаком интеграла (6), окончательно получим
Единственность решения уравнения Абеля следует из однозначного характера вывода формулы (6) или (7). Поскольку формула (6) получена при условии существования решения уравнения (3), то мы должны показать, что функция <р(х), определенная формулой (6), удовлетворяет уравнению Абеля. Непосредственная проверка убеждает нас в правильности формулы (6).
Разберем в частности случай, когда f(x) = const = С. Тогда из формулы (7)
Интегрируя последнее дифференциальное уравнение, получим параметрические уравнения циклоиды
(5)
(6)
(7)
или
Отсюда
л
= -'а. = 4* cos2 J3dfi = 2k(\ + cos 2p) dp.
ЧР
4 = 2kp + k sin 2 P = k(2p + sin 2 p) + Cx, T) = 2ksin2 p = k(l-cos2/?).
Рассмотрим обобщенное уравнение Абеля
(8)
На основании известного интеграла (см. гл. 1, § 22, п. 7)
P' dx _ Л
q{p-x)a(x-q)^a sin ал '
поступая аналогично случаю, когда а = 1 /2, получим формулу решения уравнения (8):
, ч sin ал- d г f(s)ds sin ал-<р(х) = 1
f(a) +х[ f\s)ds
h
(.x-d)~a 3a(x-s)
(9)
Л- dx ‘ (x-s) a Л
Таким образом, если f (jc) e C[a, b] n C1 (a, b), f(x) (b - л:)“-1 интегрируема на сегменте \a, 6], то существует единственное решение <р(х) интегрального уравнения (8), которое определяется по формуле (9) и принадлежит классу С (а, 6]. Если решение уравнения (8) искать в классе функций С[а, Ь], то в формуле (9) необходимо положить f(a) = 0 .
§ 3. Решение интегральных уравнений с помощью рядов
1. Интегральное уравнение Фредгольма второго рода
Рассмотрим интегральное уравнение Фредгольма второго рода
ь
(p(x)-A\K(x,t) cp(t)dt = f(x), (1)
а
где a<x,t<b, K(x,t) и f (х) - заданные непрерывные функции, <р(х) -неизвестная функция, X - числовой параметр.
Поскольку при /1 = 0 (р(х) = f (х), то решение интегрального уравнения (1) будем искать в виде суммы степенного ряда по Л
0>(*) = Z Я<Рп (х) = <Ро (х) + Л<р1(х) + ... + Лп <рп(х) + ..., (2)
П=0
где ф0 (х), фх (х), ... , фп (л:), ... - неизвестные пока функции. Будем
предполагать, что они непрерывны на сегменте [а,Ь\ и функциональный ряд (2) сходится равномерно на [а,Ь\ хотя бы для достаточно малых \л\. Подставляя ряд (2) в уравнение (1) и интегрируя почленно, имеем
оо +оо Ь
+ 1 Л"+1 \К{х, 0 <pnV)dt.
т-0 п=0 а
Предыдущая << 1 .. 176 177 178 179 180 181 < 182 > 183 184 185 186 187 188 .. 283 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed