Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
Отсюда, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях Л,
получим рекуррентные формулы:
ь
<Po{x) = f{x), Фп+1(х) = \K(x,t)фn{t)dt, п = 0,1,2,..., (3)
а
позволяющие найти одно за другим все искомые функции фп(х). Теперь покажем, что функциональный ряд (2) сходится равномерно на [а,й]. Прежде
всего заметим, что все функции Фк(х), к = 0, 1, 2, находящиеся из формул (3), являются непрерывными на [а,Ь], так как по условию функции K(x,t) и f{x) непрерывны. Далее в силу непрерывности функций f(x) и K(x,t) существуют положительные числа М \л N такие, что при всех x,t е [а,Ъ\: | К(х, t)\<M и | f(x) | < N. Тогда при всех х е [а,Ь\ из (3) имеем :
ко(*)|=|/оо|^.
IФ\ (¦*)| — JI АГ(дс, t)\\<p0(t)\dt<N-M(Ъ-а),
а
\<р2(х)\< ||^,0||^(0И^^-[М(й-а)]2,
\<Рп(*)\^ i\K(xj)^<pn_l{t)\dt<N\M{b-a)Y . (4)
а
Справедливость оценки (4) при любом п можно обосновать методом математической индукции. Из оценки (4) следует, что функциональный ряд (2) мажорируется следующим числовым рядом:
+О0 г -1 00
ZN[\A\M(b-a)}n = ZNqn ,
п=0 п=0
который сходится при q = \h\M (b-а) <\. Тогда на основании признака Вейерштрасса (см. гл. 1, §11, п. 2) функциональный ряд (2) при
|Л| <\/М(b-а) сходится абсолютно и равномерно на [а,Ь] и его сумма (р{х) является непрерывной на [а, Ь\ функцией. Легко показать, что построенное таким образом непрерывное на [а, Ь] решение <р(х) является единственным. Пусть у/(х) - любое непрерывное на [а, Ь\ решение уравнения (1). Пусть а>(х) разность решений у/(х) и <р(х) уравнения (1), т.е. а>(х) = ц/(х)-<р(х). Докажем, что <»(л:) = 0 при | Я\М(Ь-а) <1. Подставляя функцию i//(x) = <p(x) + co(x) в (1), получим
ь
а>(х) = Я\К{х, t)(o{t)dt, (5)
а
т.е. o(jc) на [а,Ь] является решением однородного интегрального уравнения. Поскольку функция а>(х) непрерывна на [а,Ь\, то функция |<»(Х)| достигает на [а,Ь\ своего наибольшего неотрицательного значения N0 : | со (jc) | < max | ю (jc) | = . Т огда из (5) при любом х<г[а,Ь\ имеем
max I со (х) I = N0 < I ЛIМ ¦ (b - a) N0 или N0 [l -1ЛI М • (b - а) ] < 0 ,
а < х <Ь
но это возможно только тогда, когда N0 = 0 . Следовательно, функция ty (х) = О на [а,Ь].
Ряд (2) с учетом формул (3) можно переписать в следующем виде:
b b ь
<P{x) = f{x) + A ^K(x,t)f(t)dt + ^ |K(x,t)dt jK(t,tx)/(^)й?^+ ...+
a a a
+ An \K(x,t)dt\K{t,tx)dtx...\K{tn_2,tn_l)f(tn_l)dtn_l+ ... . (6)
a a a
Ряд (6) можно записать в более удобной форме, если ввести
последовательные итерации ядра K(x,t).
Функции, определяемые последовательно равенствами:
ь
Kx(x,t) = K(x,t), K2(x,t) = \K(x,s)Kx(s,t)ds,...,
a
b b
^„(*,0 = j- \K{x,sx)K{sx,s2)-...-K{sn_x,t)dsx ds2 ¦... ¦dsn_x =
a a
b
= \K(x, s)Kn_x(s,t)ds, n = 2,3,..., (7)
a
называют итерированными (повторными) ядрами.
Заметим, что все итерированные ядра будут непрерывными функциями на квадрате a<x,t <b, если начальное ядро K(x,t) по крайней мере непрерывно на этом квадрате. Вводя обозначения (7), перепишем ряд (6), изменяя порядок интегрирования, в следующем виде:
ь ь
<р(х) = f(x) + Л\Kx(x,t)f(t)dt +...+ Лп JKn(x,t)f (t)dt +... . (8)
a a
Вместо ряда (8) решение уравнения (1) можно представить в еще более простом виде, если введем пЪн^тие резольвенты ядра K(x,t) .
Резольвентой ядра K(x,t) называется сумма ряда
R(x,t,A) = Kx(x,t) + AK2(x,t) +... + A?~lKn(x,t) +... , (9)
который сходится абсолютно и равномерно в области a<x,t<b, если \Л\М(Ь-а)<\. В самом деле, если | K(x,t) | < М , то из (7) следует, что
\K2(x,t)\<Mz(b-a), ... ,\Kn(x,t)\<Mn(b-a)n-1. Следовательно, функциональный ряд (9) мажорируется сходящимся числовым рядом, общий член которого равен Мп [(Ь - а) \ Л | ] "_I . Функция
сходящегося ряда (9) из непрерывных функций Kn(x,t). Воспользовавшись
резольвентой (9), решение <р(х), определяемое в виде суммы ряда (8) , можно выразить формулой
Ь
ф(х) = f(x) + X\R{x,t,X)f{t) dt. (10)
a
Итак, нами доказана следующая
