Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
удовлетворяющее начальному условию у (0) = -2 . Ответ: у = \lx3 -1 -1.
8. Проинтегрировать дифференциальное уравнение
X
, 4у~1. , ху + у2еу
а)у=----------------------------------------, б) у =- -.
X X
х
Ответы: a) l^Jy-l — In| х | = С; б) еу + \п\х\ = С
9. Найти решение дифференциального уравнения
Г УЛ
х-у cos—
XJ
у
dx + х cos—dy = 0,
х
Я II .у
удовлетворяющего начальному условию _у(1) = —. Ответ: In х + sin— = 1,
2 х
10. Найти общее решение дифференциального уравнения
а) х у - 2у = 2х4 ; б) у' - 2у = е2х; в) у' - у = х2;
Ответы: а) у = С х2 + х4; б) у - Се2х + хе2х; в) у = Сех - х2 - 2х - 2 .
11. Найти общее решение дифференциального уравнения
а) ху' + у = у2 lnx; б) х3 sinуу' + 2у - ху' ;
в) у' + 2у = еху2; г) у'+ у(у-х) = 1.
Ответы: а) у =----------, ;; = 0;б) у = (C-cos;;)^2, >- = 0;
1 + Сх + \пх
е~х2/2
в) у(ех+Се2х) = 1, у = 0;г);; = х +---—щ—, у = х.
. C+\ex/2dx
12. Решить дифференциальное уравнение
а) (2ху + 3y2)dx + (x2 + бху-Зу2)dy = 0;
б) (Зу2 + 2ху + 2x)dx + (x2 +6ху + 3)dy = 0;
в) xdx + у dy = -jx2 + у2dx; г) у2 dx + (ех - y)dy = 0.
Ответы: а) х2 у+ 3ху2 - у3 = С ,6) х2у + 3ху2 +3;; + х2 = С ;
в) у2 = 2Сх + С2 ', г) 1п|_у| -уе~х =С, у = 0
13. Решить нелинейное дифференциальное уравнение
а) л]у'2 +1 + ху'-у = 0; б) хА у2-ху'-у = 0;
в) у'+ у = ху'2 ] г) уу'2 + 2ху' = у.
Ответы: а) у = Сх + л/l + C2 , у = л/l-x2 ; б) у = С2 - —, у = —;
х 4х
в) х = У = ХР2~Р'г) / =Сх + С2/4.
14. Найти особое решение дифференциального уравнения, если оно есть
а) у2 -2xy' + j; = 0; 6) у-х-2у'+ у'2 =0\
в) у2 ->'У + 4е;с =0; г) Зху'2 -6уу' + х + 2у = 0.
Ответы: а) Не имеет; б) у = х + \\в) у = -Аех!2\ г) у = -х/3.
15. Найти общее решение дифференциального уравнения
а) У - У = 0; б) У + 5У + 6у = 0;в) у" + 9 у = 0; г) у" - 6 у + 9 у — 0.
Ответы: а) у = Сх+С2ех, С, и С2 - здесь и в дальнейшем произвольные
постоянные; б) у = Схе~2х + С2е~3х; в) у = С, sin3x + C2 cos3x ; г) у = Схе3х + С2 хеЪх.
16. Найти общее решение дифференциального уравнения
у"-Ту' + 10у = е2х. Ответ: у = Схе2х + С2е5х -е2х.
17. Найти общее решение дифференциального уравнения у" + у = /(х), когда
а) /(х) = х2+1;б) /(х) = sin2х; в) /(x) = cosx.
2 . 1 .
Ответы: a) >' = C1smx + C2cosx + x — 1; б) >' = C1smx + C2cosx--sm2x;
в) >' = C1sinx + C2cosx-^-sinx.
18. Методом вариации произвольных постоянных решить следующие уравнения:
3) у' + у = -г— ;б) у" + у' = : 1
sinx \ + ех
Ответы: a) >' = C1sinx + C2cosx-sinx'ln|sinx|-xcosx;
б) у = Сх+ С2е х +х-(\ + е ;с)1п 1 + ех
19. Методом последовательных приближений найти решение задачи Коши
у' = х + у, >»(0) = 1. Ответ: у = -1-х + 2ех.
20. Построить последовательные приближения .у0(х), >'1(х),>'2(х) решения
задачи Коши: у' = 1-(1 + х)>' + >'2, j;(0) = l. Оценить разность между ^(х) и точным решением у(х) данной задачи при | х | < 1. Указание. Точное решение имеет вид у(х) = х + 1.
21. Методом степенных рядов построить общее решение уравнения
у" + ху' + у = 0.
Ответ: .у(х) = С, у^х) + С2 у2 (х), где yt (х) = ?
(-l)V*
= е
ыо 2-4-6-...-(2к)
, ч - (-1)V*+1
УгМ = I — ------------——- •
*=о 1 - 3 - 5 •- (2А: +1)
22. Показать, что функция y(x) = Jv(kx), где Jv(kx) - функция Бесселя, к -постоянная, является решением уравнения
х2у” + ху' + (к2х2 -v2)j;(x) = 0.
Указание. Произвести замену t = kx.
23. Доказать, что
(к22 -k2)xJv{k^x)Jv{k2x) =
dx
xJv (Kx)dJv {klX)
dx
dx
Указание. Воспользоваться результатом задачи 22.
24. Доказать, что при v > -1
(А:2 -А2) \хJv(к]Х) Jv(к2х)dx = I[V:( V) Jv(k2l)-k2J[(k2l)Jv(V)]. (*)
о
Указание. Использовать задачу 23.
25. Доказать, что функция Jv(x) ПРИ ^>-1 не может иметь комплексных нулей. Указание. Допустить, что она имеет комплексный корень a + ib, а Ф 0 и получить противоречие с равенством (*) из задачи 24.
