Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Сабитов К.Б. -> "Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения " -> 176

Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.

Сабитов К.Б. Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения — М.: Высшая школа, 2005. — 671 c.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка): funkcionalnieuravneniya2005.djvu
Предыдущая << 1 .. 170 171 172 173 174 175 < 176 > 177 178 179 180 181 182 .. 283 >> Следующая

С С
-Л—^cos jut+ . 2 sin jut
= e-hl^C2+C2
r—------. r—---------------
Jcl+cl V^+c2
= Ae~ht(sin (p cosцt + cos<psin jut)= Ae~ht sin(jut + <p), где A, (p - произвольные постоянные. Итак,
x(t) = Ae~ht sm.(/ut + (p). (12)
Из формулы (12) видно, что в этом случае тело совершает, как говорят, свободные
7Z
гармонические колебания с периодом Т = — и переменной амплитудой Ae~ht,
М
которая при t —» +00 стремится к нулю. Поэтому эти колебания будут затухающими (рис. 37). При этом // называется частотой колебаний, а ср - начальной фазой. Если
среда, в которой происходят колебания, не обладает сопротивлением, т.е. h = 0, то мы получим обычные гармонические (синусоидальные) колебания
x(t) = Asm.(cot + ф),
которые будут незатухающими.
Рис. 37
Для системы (11) точка равновесия (0,0) - фокус, причем устойчивый, т.е. траектории системы (11) наматываются наточку (0,0) по часовой стрелке.
27 — 5026 417
3. Вынужденные колебания. Явление резонанса. Здесь исследуем уравнение (4), когда g(t)*0:
х" + 2hx' + о)2х = g (t) и пусть внешняя сила меняется по синусоидальному закону, т.е.
g (t) = a sin сох t,
где a, a>, - заданные действительные числа. Тут также возможны три случая.
Мы остановимся на наиболее часто встречающемся на практике случае, когда коэффициент сопротивления среды сравнительно меньше коэффициента восстанавливающей среды, т.е. h < со. В этом случае корни характеристического
уравнения (10) - комплексные числа кХ1 = -h±yjh2 - со2 = -h± i/л. Тогда число
a + iР = 0 + icox=icox при h*0 не является корнем характеристического уравнения (10), поэтому частное решение уравнения (4) будем искать в виде
V (t) = M cos coxt + N sin coxt, (13)
где M и N - пока неизвестные действительные числа. Подставляя (13) в уравнение (4), получим
V (t) = —М(ох sin <x>xt + Ncox cos coxt,
V"(t) - -Mcof cos coxt - Ncof sin o\t = -ft)2 V(t),
V"(t) + 2h V'(t) + со2 V(t) = a sin coxt
или
(ft)2 - ft)2) (M cos coxt + N sin co{t) - 2h cox (M sin coxt - N cos coxt) -= asinft)jf + 0-cosfty.
Отсюда, приравнивая коэффициенты при cosft)/ и sine»/ , имеем
f (ft)2 -ft)2) M + 2hmxN = 0,
{-2ha>x M + (a>2 -a>2)N = a.
Решая эту систему относительно неизвестных М \л N, получим я (ft)2-ft)2) , -2hmxa
(ft)2 - ft)2) 2+ 4h2cox2 ' (ft)2 - ft)2) 2+ 4h2co2x
Предварительно вычислим
Jm2+n2 =-== ¦a —
(ft)2 — ft)2) 2+4h2col
Тогда частное решение V (t) имеет вид
V(t) = M cos coxt + N sin coxt =
M N
= Jm2+n7
r COS ft), t + sin 0\t
I------ V/UO USi i. -с I-
Jm2+n2 Jm2 + n2
= л/м2 +N2 (sin (px cos coxt + cos (px sin ft)/) =
rsin(coxt + cpx) = Ax sin(coxt + cpx),
(14)
Общее решение неоднородного уравнения (4)
— со2)2 + 4h2cox определяется как сумма функций (12) и (14):
x(t) = Ae~ht sin(jut + ср) + Ах sin(o)xt + срх), fi = 4o)2-h2 . (15)
Из формулы (14) видно, что частное решение V (t) описывает вынужденные гармонические колебания с постоянной амплитудой Ах, частотой 0)х и начальной фазой (рх. Как нам известно из п. 2, функция (12) описывает затухающие гармонические колебания самой системы без внешней силы. Общее решение (15) уравнения (4) представляет сложное колебательное движение, которое возникает в результате сложения собственных и вынужденных гармонических колебаний с разными частотами /л и а>х.
Изучим далее физическое явление, возникающее при вынужденных колебаниях, так называемый резонанс. Рассмотрим амплитуду Ах вынужденных колебаний (14) и пусть величины h и со неизменны, т.е. собственная частота /л - постоянна. Выражение для Ах перепишем так:
а а
Ах=-
0)
4h2 2 / 41 2 \
со2 +
{со J V® J )
со
\ja2q2 + {l-q2y
(16)
где a = 2h/a>, q = o)x/a>. Отсюда видим, что Ах зависит от q. Исследование показывает, что с увеличением q, т.е. с увеличением возмущающей частоты сох, амплитуда Ах сначала возрастает до некоторого максимума, а затем быстро убывает, стремясь к нулю при #->+°°. Действительно, для этого найдем максимум величины Ах как функции от q > 0. Из равенства (16) имеем
Предыдущая << 1 .. 170 171 172 173 174 175 < 176 > 177 178 179 180 181 182 .. 283 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed