Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
.. а , (а + b)2
x(t) = a-----------------= a + b--
l+ayt a+b+abkt
Отсюда x(t) -> а + Ъ при t -> + оо .
§ 17. Применение линейных дифференциальных уравнений второго порядка к изучению колебательных процессов
1. Математические модели колебательных систем. В этом параграфе выясним значение линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами при изучении колебательных процессов. Сначала рассмотрим механические колебания. В качестве первого примера рассмотрим поперечные (в одной плоскости) колебания подвешенного на пружине тела массы т около положения равновесия, в котором вес тела уравновешивается упругой силой пружины. Пусть х - расстояние тела от положения равновесия по вертикальному направлению в момент времени t (рис.34). Ясно, что данное смещение х = x(t).
Предположим, что эти вертикальные колебания происходят в среде, сопротивление которой прямо пропорционально скорости dx/dt. Допустим, что на эту колебательную систему действует внешняя сила / (t), зависящая от времени t, которую называют возмущающей силой.
Теперь составим дифференциальное уравнение (математическую модель) вышеописанной колебательной системы (физической модели). На тело с массой т действуют следующие силы:
1) восстанавливающая сила пружины, стремящаяся вернуть тело в положение равновесия. По закону Гука (при малых отклонениях) величина этой силы прямо
F*oc,=-kx¦
где к > О - коэффициент пропорциональности. Эта сила направлена против направления отсчета х;
2) сила сопротивления среды, пропорциональная скорости и имеющая направление, обратное скорости
dx
^сопр=-*1 — = -Ko(t),
где кх> 0 - коэффициент пропорциональности;
3) внешняя сила / (?).
Рис. 34
та = т——^ = -кх — -кх + f(t)
Тогда согласно второму закону Ньютона в момент времени t имеем
d2x , dx
—т = ~К — dt dt
или
d2x к, dx к fit)
—т +—— +—х = 1±±. (1)
dt т dt т т
Таким образом, колебания тела с массой т описаны уравнением (1), которое представляет собой линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Если внешняя возмущающая сила отсутствует (f(t) = 0), то колебания называются свободными или собственными. При f(t)*0 колебания описанной выше физической системы называются вынужденными, а уравнение (1) - уравнением вынужденных колебаний.
В качестве второго примера рассмотрим движение простого маятника длины I в среде с сопротивлением, пропорциональным скорости. Пусть шарик массы т закреплен на конце невесомого тонкого стержня длины /, подвешенного шарнирно в точке О так, что получается качающийся в одной плоскости маятник (рис. 35).
Отклонение маятника от положения равновесия удобно измерять величиной угла (р в радианах. Пусть <p{t) - величина угла (р в момент времени t после начала колебаний маятника. На шарик действуют следующие силы;
1) сила тяжести F = - mg, направленная вертикально вниз;
2) сила реакции стержня F^K, направленная вдоль стержня;
3) сила сопротивления среды, прямо пропорциональная скорости и имеющая направление обратное скорости
= dtffy conp dt ' где b > О - коэффициент пропорциональности;
4) внешняя сила / (t), направленная по касательной к траектории движения шарика.
Рис. 35
Запишем второй закон Ньютона в проекциях на касательную к траектории движения шарика:
d2 s d2l<p(t) . , d(p ...
т—- = т-------- — = -mgsm<p-b—r- + f (t)
dt dt dt
или
ml
d2 <p(t) d(p
dt
2 +b— + mgsin(p = f (t) d t
(2)
Уравнение (2) является нелинейным. Если рассматривать случай малых колебаний маятника около положения равновесия, то sin(рк(р и заменяя sin^ на (р, получим
,d2(p d(p
ml-
2 +b— + mg(p = f{t) d t d t
или
d <p b dtp g fit)
----2 , <P = :L^-L
(3)
dt1 ml dt I ml
Как видим, в обоих примерах движение материальных систем задается линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. В дальнейшем вместо уравнений (1) и (3) будем рассматривать уравнение
х" (t) + 2h х'(t) + a)2 x(t) = g(t), (4)
i К 2 к f(t)
