Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Сабитов К.Б. -> "Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения " -> 186

Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.

Сабитов К.Б. Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения — М.: Высшая школа, 2005. — 671 c.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка): funkcionalnieuravneniya2005.djvu
Предыдущая << 1 .. 180 181 182 183 184 185 < 186 > 187 188 189 190 191 192 .. 283 >> Следующая

О
Пусть f(x) = 1. Тогда из формулы (23) имеем
1-х, Л = -1,
<Р(х) =
1 + —[e(№-ll Лф1. 1 + Я1 J
Если f (х) = х , то из формулы (23) получим
<р(х) =
х —
- + -
Я
[e(1+A)jr-l], Я*1.
1 + Я (1 + Я)2
3. Интегральное уравнение Вольтерра первого рода
Уравнение Вольтерра первого рода
(23)
\K(x,t) <p(t)dt = /(x) , a<x<b, (24)
a
при некоторых условиях относительно ядра K(x,t) и правой части / (х) может
быть сведено к уравнению Вольтерра второго рода. В самом деле, продифференцируем по х обе части уравнения (24), тогда получим
X
К(х,х)(р(х) + \К'Х (x,t) (p(t) dt = f'(x),
a
откуда при условии К(х,х) Ф 0 при хе [аД, найдем
(25)
д Л. XJ iv ^ XJ
Уравнение (25) является уже интегральным уравнением Вольтерра второго рода.
Если К(х,х) = 0, то после дифференцирования имели бы снова уравнение Вольтерра второго рода
X
\K'x(x,t) q>(t) dt = f'(x), a<x<b .
a
Дифференцируя данное уравнение еще один раз по х, имеем
X
К'х(х,х) (р(х)+ \K"x(x,t) (p(t)dt = /"(х) , а<х<Ъ,
а
и при условии К'х(х,х)Ф 0 на [а, Ъ\ из него получим уравнение Вольтерра второго рода
+ } (p{t)dt = , а<х<Ъ.
аКх(х,х) Кх(х,х)
Если же К'х(х,х) = 0, то, продолжая процесс дифференцирования,
решение уравнения (24) сведем к решению уравнения Вольтерра второго рода при условии, что найдется номер р такой, что существуют непрерывные
производные K[q)(x,s) и f{q)(x), q =1, 2,..., р + \, причем К[р)(х,х)Ф 0.
Пример 3. а) Пусть в уравнении (24) ядро K(x,t) = 1. Тогда если
/(x)eC1[a, Ь] и f(a) = 0, то решение такого уравнения определяется
равенством <р(х)- f'(x).
б) Если K(x,t) = x-t, то К(х,х) = 0 и K'x(x,t) = 1. Тогда, продифференцировав уравнение (24) два раза по х, найдем (р(х) = f(x). Итак, в этом случае, если /(х)еС2[й, i], /(a) = /'(a) = 0, то решение уравнения (24) находится по формуле (р{х) = /"(х) .
в) Пусть K(x,t) = (х-t)", где п - любое натуральное число. Легко
заметить, что К(х,х) = К'(х,х) = ... = К{"~Х)(х,х) = 0, а (х,х) = п\ф 0. 442
Тогда, продифференцировав уравнение (24) п+1 раз по переменной х,
получим (р(х) = f(n+i\x)/n\ . Таким образом, если K(x,t) = (x-t)n, neN,
f (x) e C"+1 [a, Z>], /(«) - /4a) - • • • - /(л)(а) = 0 ’ то существует
единственное решение уравнения (24) и оно определяется равенством
Р(*) = /<и+1) (*)/”! ¦
Пример 4. Решить интегральное уравнение
ДГ
J е'г~' (р (t) dt = л:. (26)
о
Решение. В случае уравнения (26) ядро K(x,t) = ex~' и f(x) = x, причем К(х,х) = 1. Тогда продифференцировав обе части уравнения (26) по х, получим
X
(р(х) + J ех~* (p(t)dt = 1. (27)
о
Уравнение (27) является уравнением Вольтерра второго рода и оно получается из уравнения (22) при Я = -1 и f(x) = 1. Тогда решение уравнения (27), стало быть и уравнения (26) имеет вид ср(х)= 1-х.
§ 4. Связь уравнений Вольтерра с линейными обыкновенными дифференциальными уравнениями
Рассмотрим начальную задачу для линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка
Ly = y"(x) + p(x)y'(x) + q(x)y(x) = f{x), a<x<b, (1)
где р(х), q(x), f (х) - заданные на сегменте [а, Ъ\ непрерывные функции, у = у(х) - неизвестная функция, удовлетворяющая условиям
УЫ = уа, y\xQ) = ylt у0, ух - заданные действительные числа, х0е(а,Ь). Не теряя общности, можно полагать у0 = ух = 0. В самом деле, введем новую функцию
z(x) = y(x)-y0-yl (х-х0), которая является решением уравнения (1) с новой правой частью /Лх) = f(x)~ р(х)У1~Я(х)[Уо+У\(х~хо)] и удовлетворяет нулевым начальным условиям: z(x0) = 0, z'{x0) = 0.
Итак, требуется найти функцию у(х), удовлетворяющую следующим условиям:
у(х)еС[а, Ь]пС2(а, Ь) ; (2)
Ly(x) = f(x),xe(a,b)\ (3)
У(хо) = У'(хо) = ()’ хо (4)
Чтобы построить интегральное уравнение, эквивалентное задаче ((2) -
(4)), воспользуемся очевидным равенством
y(x)=]y'(t)dt, (5)
*0
Предыдущая << 1 .. 180 181 182 183 184 185 < 186 > 187 188 189 190 191 192 .. 283 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed