Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Сабитов К.Б. -> "Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения " -> 177

Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.

Сабитов К.Б. Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения — М.: Высшая школа, 2005. — 671 c.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка): funkcionalnieuravneniya2005.djvu
Предыдущая << 1 .. 171 172 173 174 175 176 < 177 > 178 179 180 181 182 183 .. 283 >> Следующая

1
( 2 Л2 0)
А2
v а J
[a2q2+(l-qy ] = B{q2)
где будем считать, что 0<a<4l. Чтобы найти максимум функции Ax(q) на промежутке (0, + оо), достаточно найти минимум функции B(q2) на указанном промежутке. Для этого вычислим производную B'(s) и приравняем к нулю :
B'(s) =
f 2 Л2 0)
v а у
[ar2s + (l-s)2] =-
f г\г СО
v а
S-
1-
а
= 0.
Отсюда 5 = 50=1 —Y>^' НетРУдно виДеть’ что ПРИ s <so производная B'(s)<0,
поэтому на (0,50) функция B(s) строго убывает, а при s > sQ производная B'(s) > 0, поэтому на (50, + оо) функция B(s) строго возрастает. Тогда функция B(s) в точке s = s0 имеет минимум. Отсюда следует, что максимум амплитуды Ax(q) достигается при q = qQ= (1 — «г2/2)1//2 , т.е. при сох = (со2 -2h2)^2. При этом амплитуда равна
л _ а _ а
Таким образом, при близости частоты внешней силы сох к величине
(со2-2кгТ и при малом h (т.е. <у,«<у) данная колебательная система будет
совершать гармонические колебания с очень большой амплитудой. Это явление резкого возрастания амплитуды колебаний под влиянием даже совсем малых внешних воздействий и называется явлением резонанса.
Резонанс играет значительную роль в технике и физике. Каждое упругое тело имеет свою определенную собственную частоту колебаний. Представим себе, что это тело под действием внешней периодической силы выводится из состояния равновесия. Если частота внешней силы близка к собственной частоте, то
воздействие внешней силы, как бы оно мало ни было, может оказаться огромным и
разрушительным. Поэтому при проетфовании различных сооружений (машин, мостов, кораблей, самолетов и т.д.) учитывается явление резонанса.
Если отсутствует сопротивление среды, т.е. h = 0, то общее решение уравнения (4) имеет вид
х(0 = A sin (со t + q>) + ——-у sin (aijt + cp, ).
CD -CD2]
Отсюда видно, что при сох^>со также возникает явление резонанса.
Если же h = 0 и со = сох, то число a + ifi = 0 + ш, = icox является корнем характеристического уравнения (10), поэтому частное решение уравнения (4) ищем в виде
V(t) = t(McosCDxt + Nsm(oxt) = tu . (17)
Подставляя (17) в уравнение (4) и учитывая, что h = 0 и сох = со, получим :
V'(t) = (tu)'= tu'+ и, V"(t) = tu"+ 2и', V" + co2V = asmcot
или
tu" + 2и' + co2tu =asincot.
Вычислим
и' = -со Msmcot +со N coscot, и" = - со2 М coscot - со2 N smcot = -со2 и . Тогда получим
2и' = asincot или -2соМsincot + 2coNcoscot = asmcot.
Отсюда N = 0, М =---------и частное решение (17) окончательно примет вид

Т Г / \ А ^
V(t) =------cos (ot.
2(0
Тогда общее решение уравнения (4) при h = 0 и а>х = а> имеет вид
x(t) = Asin{(ot + (p)--^—tcos(ot. (18)
2(0
Второе слагаемое в правой части (18) называют вековым членом. Этот член показывает, что с течением времени размах колебаний неограниченно растет, в этом случае снова возникает явление резонанса.
Таким образом резонанс может иметь свои отрицательные последствия, особенно, в механических колебаниях, но он имеет свои положительные стороны. Резонанс используется в радиотехнике в усилительных установках.
Задачи для самостоятельного решения
1. Показать, что функция
^ С у = Сх + -
л/l + C2
при каждом CeR на интервале (-оо, + оо) является решением уравнения
х/~У+ I У =0.
М/)2
2. Показать, что функция
X
y{x)=x\s\ntdt + xC, CeR,
о
является на интервале (-оо, + оо) решением уравнения
ху'-у = х2 sinx.
3. Показать, что функция у = y(x), определяемая равенством
2у=х2+Су2, CeR,
является решением уравнения
х2 у'-ху = уу'.
4. Функция х = <р(у) задана параметрически: у = е~‘, x = te‘. Доказать, что эта функция является решением уравнения
(1 + ху) dy + у2 dx = 0.
5. Найти общее решение дифференциального уравнения
у - ху2 + 2ху .
Ответ: у =-------г. С - здесь и в дальнейшем произвольная постоянная.
1 -Сех
6. Найти решение дифференциального уравнения
х (1 + у2) + у (1 + х2 )у' - 0. Ответ: (х2 + lXy2 +1) = С.
7. Найти решение дифференциального уравнения
х2 (I + у) dx - (х3 - I) dy = 0,
Предыдущая << 1 .. 171 172 173 174 175 176 < 177 > 178 179 180 181 182 183 .. 283 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed