Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
где h = —, су = — > 0, g(t) =-----------.
2т т т
К уравнениям вида (4) приводится вообще моделирование малых колебаний физических систем с одной степенью свободы около его положения равновесия.
h называется коэффициентом сопротивления; слагаемое co2x(t) происходит от
внутренней силы физической системы, при этом со2 называется коэффициентом восстановления; свободный член g(t) происходит от внешней возмущающей силы, действующей на данную систему. Уравнение вида (4) встречается не только при рассмотрении колебаний механических систем, но и в других вопросах физики и техники, связанных с колебательными процессами.
В качестве третьего примера рассмотрим разряд конденсатора емкости С через электрическую цепь с сопротивлением R и коэффициентом самоиндукции L. Пусть в цепи имеется еще источник тока с электродвижущей силой Е, которую считают положительной, если она действует в направлении, противоположном силе тока i в цепи (рис. 36).
С
Обозначая через U напряжение на обкладках конденсатора, для этой электрической цепи будем иметь:
U(t)-E(t) = RI + L—, (5)
dt I = I(t) = -C(6) dt
где R, L, С - постоянные.
Продифференцируем по t уравнение (5). Тогда с учетом (6) получим
nt)-m.R^L§
~--E'(t) = R — + L~.
С dt dt2
d2I Rdl 1 . E’(t)
— +---+---1 =--(7)
dt L dt LC L
Сравнивая уравнение (7) с уравнением (4), видим, что слагаемое R dl/dt L
ИЛИ
Отсюда
аналогично слагаемому, исходящему от сопротивления среды; слагаемое / (t)/LC -слагаемому, исходящему от восстанавливающей силы; правая часть -E'(t)/L -
правой части, выражающей возмущающую силу.
Таким образом, линейные дифференциальные уравнения второго порядка представляют собой математическую модель различных по своей природе колебательных систем. В этом и сила математики, которая, будучи наукой абстрактной, находит применение в самых разнообразных процессах физики, химии, биологии и других областях знаний.
Далее, исследуем уравнение (4) в зависимости от коэффициентов и правой части g(t) и дадим физическую интерпретацию полученным результатам (т.е. решениям уравнения (4)). Для построения траекторий движения, определяемого уравнением (4) на фазовой плоскости (х,у), у = x'(t), от этого уравнения перейдем к системе (см. п.5 §13)
[х' = У,
(в)
(/ = -ю х-2hy + g(y).
2. Свободные колебания. Рассмотрим однородное уравнение, соответствующее уравнению (4);
х" + 2hx’ + а2 х = 0, (9)
решения которого определяют свободные, или, как говорят, собственные колебания. Составим характеристическое уравнение
k2 + 2hk + co2 =0, (10)
которое имеет корни кх 2 = -h±^h2 - со2 . Здесь возможны три случая.
1) Пусть коэффициент сопротивления больше коэффициента восстановления, т.е. h>co. В этом случае корни характеристического уравнения различны и действительны. Поэтому общее решение уравнения (9) имеет вид
x(t) = C/'‘ + С2екг‘,
где Сх и С2 - произвольные постоянные. Отсюда видно, что никаких колебаний в этом случае не происходит, с увеличением времени t отклонения x(t) уменьшаются, так как корни кх < 0 и к2< 0, т.е. x(t) -» 0 при t -» +оо , т.е. решение уравнения (9) асимптотически устойчиво. В этом случае имеем дело с непериодическим движением или, как говорят, с апериодическим или затухающим движением.
Для соответствующей (8) однородной системы
х' = У, у' = -0)2x-2hy (11)
начало координат (0,0) является точкой равновесия и она является устойчивым узлом, так как корни характеристического уравнения (10) действительные и отрицательные. Отсюда следует, что нулевое решение системы (11) асимптотически устойчиво.
2) Коэффициент сопротивления среды равен коэффициенту восстановления, т.е. h = со. В этом случае корни характеристического уравнения равны кх = к2 = -h . Тогда общее решение уравнения (9) определяется формулой
x{t) = Cxeht + C2te-h‘ = e-h‘ (C, + C2f).
Отсюда видим, что этот случай особо не отличается от предыдущего в том смысле, что x(t) -» 0 при t -» +00 .
Для системы (11) точка (0,0) есть вырожденный узел. Нулевое решение системы асимптотически устойчиво.
3) Коэффициент сопротивления меньше коэффициента восстановления, т.е. h<0). В этом случае корни характеристического уравнения (10) комплексносопряженные
k12=-h±л/й2-со2 =-h±i/л, где ju2 = a2 -h2, ju> 0. Тогда общее решение уравнения (9) выражается формулой
x(t) = e~ht (С, cos jut + С2 sin jut) =
