Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Сабитов К.Б. -> "Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения " -> 184

Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.

Сабитов К.Б. Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения — М.: Высшая школа, 2005. — 671 c.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка): funkcionalnieuravneniya2005.djvu
Предыдущая << 1 .. 178 179 180 181 182 183 < 184 > 185 186 187 188 189 190 .. 283 >> Следующая

Теорема 1. Если функции f(x) и K(x,t) непрерывны при a<x,t<b,
\K(x,t)\<M и |Я|М(Ь-а)< 1, то существует единственное непрерывное
на \a,b\ решение <р(х) уравнения ('l), которое определяется формулой (10).
Из этой теоремы следует, что предложенный метод рядов дает решение уравнения (1) лишь для значения параметра Л, достаточно малых по модулю. Следовательно, этот метод не дает полного решения уравнения Фредгольма второго рода.
2. Интегральные уравнения Вольтерра второго рода
Рассмотрим интегральное уравнение Вольтерра второго рода
X
ф(х)~X\K{x,t) (p{t) dt = f(x), a<x<b, (11)
a
которое, как известно, является частным случаем уравнения (1), если в уравнении (11) за ядро принять функцию, равную K{x,t) при t<x и равную нулю при t>x. Оказывается, в этом частном случае, т.е. в случае уравнения
(11), метод рядов (2) дает полное исчерпывающее решение уравнения (11) в классе непрерывных на [a,b\ функций при всех Л.
Рассуждая аналогично п.1, докажем равномерную сходимость функционального ряда (2) на сегменте [a,b\ при всех ЛеС, где уже (рп(х) находятся из формул:
X
^о(*) = /М- п = 1,2,.... (12)
a
Из (12) шаг за шагом получим
ко(*)Н/(*)|^>
\(РЛх)\<\\К{х, t)\\(p0{t)\dt<NM(<X °\
a *¦*
\<p2{x)\<\\K{x, t)\\(px{t)\dt<NM ^ ^ ,
a
x A/fn(r — n\n
Л^(*’0|Кч( t)\dt<N------------------------------ —. (13)
a ft *
Из оценок (13) вытекает, что функциональный ряд (2) мажорируется степенным
Yn J—-i-------IJ =NeMWix~a), (14)
n=о и!
а степенной ряд (14) мажорируется сходящимся числовым рядом
\мI /1|(й-а)]" +« а"
Z N 1 1 ,--------— 05)
«=о и! п=о и!
В сходимости последнего ряда при любом q е R+ можно убедиться на основании признака Даламбера (см. гл. 1, §11, п. 1). Следовательно,
функциональный ряд (2), где <рп(х) находятся по формулам (12), сходится абсолютно и равномерно на [а, Ъ] при всех X и его сумма ф(х) является непрерывной на [а,Ь]. Построенное таким образом непрерывное на [а,Ь] решение ф(х) уравнения (11) при всех X является единственным. В самом деле, рассуждая аналогично п.1 получим, что функция а>(х) = ц/(х)-ф(х), где у/(х) и ф{х) непрерывные на [а,Ь\ решения уравнения (11), является решением однородного уравнения Вольтерра
X
а>(х) = Х\К(х, t)co(t)dt. (16)
а
Пусть I со(х) I < max I со (jc) I = N0. Тогда из (16) имеем
а<х<Ь
|(у(х)|<|А|)|^Г(х, t)\\a) (0[ dt<\X\MN0 р,
а *¦*
и так далее шаг за шагом из (16) получим
|o(jc)|<|Я|J|AT(jc,0| \X\MN0^^-dt<\X\2M2N0(X~a^-,
а 1! 2!
('-fl)2 Il3ir3 ы (х~аУ
2! 11 3!
со
(x)\<\X\)\K(x,t)\\^M”-xN^^aJ^ dt<\A\”M"N0
при любом neN. Отсюда при любом фиксированном jc, х>а и при п—»со получим |ю(д:)| = 0, так как в силу сходимости степенного ряда (14) на всей
числовой прямой х и при всех ХеС следует, что общий член ряда (14) стремится к нулю при п —> со при любом фиксированном jc . Тем самым единственность решения уравнения (11) в классе С[а, Ь\ доказана.
В случае уравнения (11) формулы (7) итерированных ядер примут вид:
Kx(x,t) = K(x,t), K2(x,t) = JK(x,s)Kl(s,t)ds......
t
Kn(x,t) = ]K(x,s)Kn_l(s,t)ds , n = 2,3,... . (17)
t
В самом деле, разбивая сегмент [а, Ь\ на части [а, f], \t, х], [jc, b] (при условии t<x), видим, что под интегралом в формуле (7) для K2(x,t) второй множитель равен нулю в первом интервале [а, Ь\ и первый множитель равен нулю в третьем интервале [х,Ь~\. Далее K2(x,t) = 0 при t> х, так как K(x,t) = 0, когда t>x. Рассуждая аналогично, получим формулу (17) для Kn(x,t) и Kn(x,t) = 0 при t> х.
В случае уравнения (11) ряд (9), составленный из повторных ядер (17), сходится абсолютно и равномерно на [а,Ь\ при всех Я. Действительно, из (17) следует, что
| K,(x,t)\<M,\Kt(x,t)\<MA-^p-..........\K,(x,t)\<MAx~,)'1
1! (П — 1) !
Предыдущая << 1 .. 178 179 180 181 182 183 < 184 > 185 186 187 188 189 190 .. 283 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed