Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
ь
J/(x) ф((x)dx = 0, i = 1, 2. (**)
а
В этом случае вместо обычной функции Грина строится обобщенная функция Грина G(x,t), которая уже определяется как решение неоднородного уравнения
LG(x, t) = -фх О) фх (Г) - ф2 О) ф2 (Г) и помимо свойств 1° - 4° обычной функции Грина она, как и правая часть уравнения (17), должна удовлетворять условию ортогональности (**) [16, гл. 4, §2].
3. Примеры. 1. Методом Грина построить решение краевой задачи
у” = -/(jc) , а<х<Ъ , у (а) = у (Ь) = 0. (29)
Решение. Общее решение однородного уравнения у" = 0 имеет вид у(х) = С, + С2 jc. Откуда находим ненулевое решение уг(х) = х-а, удовлетворяющее первому граничному условию ^,(а) = 0, и решение у2(х)=Ь — х, удовлетворяющее второму граничному условию у2(Ь) = 0. Эти решения линейно независимы, так как определитель Вронского
х-а Ь-х
1 -1
Тогда на основании (27) функция Грина краевой задачи (29) имеет вид
(x -a)(b-1)
fV(x) = fV[y1, у2] =
= a-b Ф 0.
G(x, t) =
(*-&-«)' Г,’ (зо>
Ь-а
После этого решение задачи (29) определяется по формуле (26), где функция G(x, t) задана равенством (30).
2. Построить функцию Грина краевой задачи
у"-у' = -/(*). Я0) = 0, /(1) = °- (31)
Решение. У соответствующего однородного уравнения общее решение имеет вид у (jc) = С, + С2 ех. Отсюда найдем два решения ух (х) = 1 - ех и у2(jc) = 1, удовлетворяющие соответственно граничным условиям ^,(0) = 0 и
у2( 1) = 0. При этом определитель Вронского W(x) = W[yi,y2\ = ex. Тогда, исходя из формулы (27), строим функцию Грина краевой задачи (31):
ззз
e' -1, x > t.
3. Построить функцию Грина краевой задачи
у" -у = -f(jx) , —оо < X < + 00 , I yi~ оо) I < + 00, I _у(+ оо) I < + 00 , (32)
т.е. искомое решение у(х) на концах бесконечного промежутка ограничено.
Решение. Общее решение уравнения у"-у = 0 есть у(х) = Схе~х + С2 ех. Отсюда ух(х) = ех ограничено при х—>-оо, а Уг(х)~е~х ограничено при х—»+ оо. Определитель Вронского в этом случае равен -2, т.е. W(x) = -2 . Тогда из формулы (27) имеем
1 „
G (x, t) =
— е 2
I/
2
x<t,
x>t,
и решение краевой задачи (32) определяется по формуле
+ оо
у(х)= \Gix, 0/(0 dt.
—со
4. Доказать ограниченность решения краевой задачи (х2у’У— 2y = —f(x) , 0<х<+оо, | у (0) | < + оо, | _у(+ оо) | < + оо , (33) если известно, что |/(х) | ^ М при любом х > 0 .
Решение. Соответствующее данному уравнению однородное уравнение имеет решение ух{х) = х, которое ограничено при jc—>0 + 0. Второе линейно
независимое с ^(х) решение y2ix) найдем по формуле (11): у2(х) = I /х2, которое ограничено при х —> + оо. Вычислим определитель Вронского
W(x) = W[yx, у2] = -3/х2 . На основании формул (27) и (21) построим функцию Грина
G{x, 0 = ^
-г, X<t,
—г, X>t.
Тогда решение краевой задачи (33) определяется по формуле
>>(*)= 0/(0 dt.
о
Решение (35) на основании (34) представим в виде
1 х t 1 +0° х
У(х) = т] — /(0 dt + — J -5-/(0 dt-
3 о х 3 х t
Отсюда с учетом |/(х) j <М получим
(34)
/О) + - y'(x)-~у(х) = -Лу,
X X
| у (0) | < + оо, у(1) = 0, /> О, v>0. (37)
Решение. Если Л = - а2 < 0 (а > 0), то краевая задача (36) и (37) не имеет собственных значений, так как в этом случае уравнение (36):
/О)+ -/(*)-
х
,2 Л
а +-
>>(*) = О
заменой a x = t сводится к модифицированному уравнению Бесселя
у(0 = о.
Тогда на основании результатов п. 3 § 9 общее решение уравнения (36) определяется по формуле
y(x) = C1Iv(ax) + C2Kv(ax),
где Cj и С2 - произвольные постоянные; Iv (а х) и Kv(a х) -модифицированные функции Бесселя. Отсюда ограниченные при х —> О решения уравнения (38) получаем при С2 = 0. Поскольку функция Бесселя Iv{ax) при х > 0 строго возрастает, то у (Г) = С, Iv (аГ) = 0 только тогда, когда Cj = 0.
Пусть теперь Л = а2 (а > 0). Тогда уравнение (36) перепишем в виде
У'(*)+-У«+
х
а --
у(х) = О,
которое заменой а х = t сводится к обычному уравнению Бесселя
/(0 + iy’(0 +
2 Л
1-
>40 = 0.
Тогда в силу результатов п. 2 § 9 общее решение уравнения (36) можно определить по формуле
