Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
Решение. Из первого уравнения имеем
УГ = у[-У2=У1-У2-(У1+У2) = -2Уг ¦
Подставляя сюда значение у2 из первого уравнения, получим уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами относительно ух(х) :
у';-2у[ + 2у,=0, (21)
характеристическое уравнение которого имеет вид
к2 - 2к + 2 = 0, кх = 1 + i, к2 = 1 - i.
Тогда общее решение уравнения (21) имеет вид
ух (х) = Cj ех cos х + с2 ех sin х. (22)
Из равенства у2 = ух -у[ с учетом (22) находим
у2 (х) = сх ех sin х-с2ех cos х . (23)
Таким образом, общее решение системы (20) определяется формулами (22) и (23).
Если в системе (19) число п не очень большое, то метод исключения часто бывает практически удобен. Но при этом методе трудно установить структуру фундаментальной системы решений и тем самым структуру общего решения системы (19).
Поскольку систему (19) можно свести к одному уравнению высшего порядка с постоянными коэффициентами, частное решение системы (19) естественно искать в виде
Уг=Г^х. У2=У2екх, .... У„=Г„екх, (24)
где yt, к - пока неизвестные постоянные. Подставляя (24) в систему (19) и
сокращая на екх и собирая коэффициенты при у1, у2, ..., уп, получим систему алгебраических уравнений
(ап-к) У1+а12у2+... + а1пу„ =0,
a2iK +(а22-*0 У2+- + а2«Гп =0>
(25)
атГ1 + а„2Г2 + - + (а„„-к)У„=0.
Рассматривая систему (25) относительно ух, у2, ... , уп, видим, что она имеет ненулевое решение только тогда, когда определитель этой системы
А(к) =
ахх-к
21
*п\
12
а22-к
п2
*\п
2п
- к
= 0.
(26)
Наряду с определителем А (к) рассмотрим матрицу М (к), составленную из тех же элементов
М(к) =
ахх-к а,
21
\ а 1
\ п\
12
а22 - к
*1п
*2 п
Уравнение (26) есть уравнение п-й степени относительно к и его называют характеристическим уравнением системы (19).
Таким образом, решение вида (24) системы (19) может существовать только в том случае, когда к является корнем характеристического уравнения (26).
Могут представиться два случая.
Случай 1. Пусть все п корней уравнения (26) различны. Обозначим их через кх, к2, ..., кп, т.е. A(kj) = 0 при всех j = 1, п . Подставляя корень kj в
систему (25), найдем соответствующие y\J), i = l,n. В этом случае определитель системы A(kj) = 0, поэтому она имеет ненулевые решения: y[j), у2л, ..., у(п]). Поскольку ранг матрицы М (к¦ ) системы (25) равен л-1,
dA(k)
что следует из факта
d к
к=к = А' (к) фО, то неизвестные числа П
О)
y2J), ..., y^j) определяются с точностью до произвольного множителя пропорциональности. Обозначая этот множитель через су, получим
v(j) _ „ 1 (j) ..(j) _ „ % (j) VU) _ „ о (j)
Y\ -CjA 1 , y2 — Cj/l 2 , ... , yn — CjA n ,
где AjJ\ i=l, и - известные числа. Таким образом, корню к = к} соответствует частное решение (24) (положим с . = 1) системы (19):
y\j)=Z\J)ekjX, у<р=Л<?ек'х, ..., у[»=Л?ек'х. (27)
Применяя приведенные рассуждения ко всем корням klt к2................. кп
характеристического уравнения (26), получим л частных решений вида (27)
системы (19) для j = 1, п . После этого можно найти общее решение системы (19) в виде:
У\ О) = <\ У 1(1)+ с2 У {2)+... + с„ у\я), у2(х) = с1у(2)+с2у(2)+... + с„у(2п),
(ZU)
. Уп (X) = с, У (в1}+ с2 у (2)+... + с„ Уп).
Замечание 1. Если среди корней характеристического уравнения (26) есть комплексные, то они будут попарно сопряженными. Пусть, например,
k^a + i/3, k2=a-i/3.
Тогда им соответствуют комплексные решения
.. (1)_ 2 (х)Ла+‘Р)х ,, (2)_ 2 (2) (a-ifi)x ¦ _ j ~
у j - A j е , у . - л j е , j - 1, л , при этом коэффициенты Л^ и Л52) также являются комплексными сопряженными: Л^ = l(p + И(2), Я(;2) = Zja) -г/]2). В этом случае из данной 344
(1) (2)
/ и уу .
у <1}= еах (/ ^cos px-l f sin fix), у <2)= еах (/ ^sin Px + l <2)cos р х). Пример 3. Найти общее решение системы
' dyx
dx
