Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
= 1*0.
0 0 0 ... 1 Определим п частных решений У(х), у2{х), начальными условиями :
йО)
у„(х) системы (4) с
У 2 О)
}>1(1)Оо)=1> }4Vo) = ()> Л*о) = 0.
У2)Оо) = 0, Я2)(Ло) = 1» ^2)Оо) = °.
Уп(х) '¦ ^1(п)Оо) = 05 У{2П)(х0) = 0, ..., У(„п)(х0) = 1.
По теореме существования и единственности решения задачи Коши для системы (4) эти частные решения уДх), i = 1, п, существуют и определены на [a, J3], Определитель Вронского W[ у:, у2, ¦ ¦¦, у„] для этой системы при
х = х0 равен единице. Следовательно, система функций йО), i=i, л, линейно независима на [а, /?]. Значит, они образуют фундаментальную систему частных решений для системы (4).
Теорема 4. Если ух(х), у2{х), ..., уп (х) на <а, /3 > образуют
фундаментальную систему частных решений однородной системы (4), то их линейная комбинация
У О) = с,й (*) + с2у2(х) + ... + с„у„(х) (7)
является общим решением системы (4) в том смысле, что каждое частное решение системы (4) может быть получено из формулы (7) при надлежащем
выборе постоянных ci, i = 1, n.
Доказательство. В силу теоремы 1 линейная комбинация (7) при любых с,, i = l, и, является решением системы (4). Пусть ф(х) - любое частное решение системы (4) и х0 е(а, Д). Поскольку уДх) линейно независимы на
338
< а, р >, то векторы ЙС*,,). ,у2(л:0), ..., .У„(х0) представляют собой базис и-мерного векторного пространства. Тогда
ф(х0) = ? с<0)йО0). (8)
к=1
где 40), к = 1,п, - определенные постоянные. Таким образом, два решения
системы (4): ф(х) и ? <40) Ук(х) в точке jc = jc0 в силу (8) принимают равные
к=1
значения. Тогда на основании теоремы единственности решения задачи Коши (см. теорему 3 § 3 )
Ф(х) = Т40) ук(х), хе<а,р>.
к=О
Итак, любое частное решение ф(х) системы (4) получено из
представления (7) при однозначном выборе постоянных с,. =с?0), i = l,n.
Следовательно, формула (7) представляет общее решение однородной системы (4).
2. Линейная неоднородная система дифференциальных уравнений. Метод вариации произвольных постоянных
Теперь обратимся к решению неоднородной системы (1) или (2).
Теорема 5. Общее решение неоднородной системы уравнений (1) или (2) есть сумма какого-либо ее частного решения и общего решения соответствующей однородной системы (4).
Доказательство. Пусть й(х) - общее решение однородной системы (4),
а б(х) - какое-либо частное решение неоднородной системы (2). Если ух(х), у2(х), ..., у„(х) - фундаментальная система частных решений однородной системы (4), то по теореме 4
п
й{х) = ^скук(х),
к=\
где ск, к = \,п,- произвольные постоянные. Докажем, что
п
y(x) = u(x) + u(x) = 'Z скук(х) + о(х) (9)
к=1
является общим решением неоднородной системы (2). Прежде всего заметим, что функция (9) является решением системы (2):
А(х)у(х) + Ь (х) = Л(х)[м(д:) + и(д:)] + 6 (х) =
= А (х) й (х) + А (х) й (х) + Ъ (х) = й' (jc) + й'(х) = у' (jc) .
Пусть ф(х) - любое частное решение системы (2) и х0 e(a, Р). Поскольку
векторы йО0), у2(х0)........ Я,Оо) образуют базис и-мерного векторного
пространства, то вектор ф(х0)-й(х0) можно разложить по базису ух(х0),
У2(хо).... Уп(хо):
п
Ф(х0)-О(х0) = '?с(°)ук(х0). к=1
Отсюда
Ф(х0) = Т.с(°)ук(х0) + о(х0). (10)
ы\
Следовательно, имеем два решения системы (2): ф(х) и u(jc) + ^] с(к)ук(х),
к=1
которые в силу (10) принимают в точке х = х0 равные значения. Тогда в силу теоремы единственности решения задачи Коши
ф(х) = о(х) + ? с[0)ук(х).
к=1
Таким образом, любое частное решение ср(х) системы (2) получено из
представления (9) при соответствующем выборе постоянных с,- = с{0), i = l,n.
Значит, формула (9) определяет общее решение системы (2). Что и требовалось доказать.
Теорема 6. Если известна фундаментальная система частных решений У\(х), у2(х), ¦¦¦, Уп(х) соответствующей однородной системы (4), то общее решение неоднородной системы (2) может быть найдено по формуле
У(х) = Т ск(х)ук(х), (11)
к=1
где функции ск(х), к = 1, п, определяются из системы
