Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
а
Отсюда, поскольку р(х)>р0 > 0, следует, что У(х) = 0 на [а, 6].
Следовательно, у(х) = const = С0. По условию у(х)еС[а, Ь\ и
у (а) = у(Ь) = 0, тогда постоянная С0=0, т.е. j/(x) = 0 на [а, Ь\ или
^(х)sу2(х) на \а,Ь\. А это означает единственность решения первой краевой задачи.
Если а1=а2=0, то из граничных условий (13) и (14) следует, что у'(а) = у'{Ь) = 0. Тогда из равенства (15) при условии q(x) = 0 получим соотношение (16). Откуда будет вытекать, что у (х) = const = С0 или ух (х) = у2 (х) + С0. В этом случае решение второй краевой задачи неединственно, т.е. определяется с точностью до постоянного слагаемого.
Пусть q(x) не тождественно равна нулю на (а, Ь). Подставляя
у(х) = С0 в уравнение L(y) = 0 имеем: -q(x)CQ = 0. Отсюда, поскольку q(x) не тождественно равна нулю на (а,Ь), следует, что С0=0. Таким
образом, в этом случае решение второй краевой задачи определяется единственно.
Теперь рассмотрим случай, когда аг,Д>0 и а2Р2>0. Тогда из равенства (15) с учетом граничных условий (13) и (14) находим 328
\[p(x)y'2(x) + q(x)y2(x)\dx +p(a) ^ у2(а) + рф) ^ y2(b) = 0.
a H\ Hi
Отсюда следует, что у (x) s const = C0 и у (a) = у ф) = 0. Рассуждая аналогично первому случаю, получаем, что С0 = 0. Следовательно, решение
третьей краевой задачи определяется единственным образом. Теорема полностью доказана.
Замечание 3. В примере 3 §10 методом экстремума доказана
единственность решения задачи (1) и (3) в классе функций Cl[a,b]nC2(a,b). Здесь мы привели другой метод доказательства единственности решения задачи (1) и (3), основанный на интегральном тождестве (15).
Далее приступим к построению решения краевой задачи (1) и (3). В силу замечания 1 вместо краевой задачи (1) и (3) достаточно построить решение задачи для неоднородного уравнения
L(y) = ~J~[P (У) ?(х) ]~Я(х)У (*) = -fix) (17)
ах
с однородными граничными условиями :
«1 уФ)~Р1у'(а) = 0, а2уф) + Р2 уф) = 0. (18)
В дальнейшем предположим, что соответствующая (17), (18) однородная задача имеет только нулевое решение, т.е. Л = 0 не является ее собственным значением.
Пусть >>,(*) и у2(х) - ненулевые решения однородного уравнения L(y) = 0, удовлетворяющие условиям
^1УМ)-Р\У'М) = ^, ос2у2ф) + ргу,2ф) = 0. (19)
В силу указанной выше гладкости коэффициентов уравнения (1), функции ух(х) и у2(х) могут быть построены как решения задачи Коши для уравнения L (у) = 0 с начальными условиями :
yl(a) = Clj3l, y[(a) = Clal; у2ф) = -С2р2, у2ф) = С2а2, где Cj и С2 - произвольные постоянные. Причем в силу сделанного предположения о существовании лишь тривиальных решений однородной краевой задачи, построенные таким образом функции уДх) и у2(х) не удовлетворяют остальным граничным условиям :
<ХгУ1Ф) + РгУ\Ф)*Ъ’ ociy2ia)-Piy2ia)^Q, (20)
и они линейно независимы на [а, Ь]. Действительно, предполагая линейную зависимость функций ^(х) и у2(х), получим, что ух(х) = Су2(х) . Отсюда в силу (19) решение ^(х) удовлетворяет и второму граничному условию из (18), что противоречит (20). Отсюда следует, что определитель Вронского
У\ У 2
W(x) = W[ylty2] = и имеет место тождество
p(x)W(x) = p(a)W(a), хе[а, b\, (21)
справедливость которого следует из равенства (9), в котором верхний предел b следует заменить на х из [а, Ь\ и принять и(х) = _у,(х) и и(х) = у2(х).
Решение краевой задачи (17) и (18) будем искать методом вариации произвольных постоянных
у(х) = С1(х)у1(х) + С2(х)у2(х), (22)
где С,(х) и С2(х) (см. § 7) определяются из системы
fix)
с; ух (х)+с' _у2 (х) = о, с; у о)+с2 у2 (х) = ¦
р(х)
(23)
с определителем W(x) Ф 0. Решая эту систему методом Крамера и пользуясь тождеством (21), получим
с;ос)=—
1 W
С'2(х) = — 2 W
о
_/
р
Ух
У'х
Уг У 2
О
/
f(x)y2(x)
p(a)W(a)'
f(x)y,(x)
p(a)W(a)
(24)
(25)
Чтобы решение (22) удовлетворяло граничным условиям (18), положим С2(а) = 0, Схф) = 0. Действительно, в силу условий (19) и (23) имеем
<*\У (а) - А /О) = ах (а) У\ (а) + С2 (а) Л («) 1 -- Д [с; (а) у, (а) + С' (а) у2 (а) + С, (а) у[ (а) + С2(а) у\ (а) ] =
= С, (а)[а, у, (а) - Д ^(а)] + С2 (а)[ах j/2 (а) - Д у' (а] = 0, сс2у (b) + Д у*’(6) = С, (6) [а, у, (6) + Д (6)] +
+ С2 (b) [а2 у2 (b) + Д у’2 ф] = 0 .
Заменяя в уравнениях (24) и (25) переменную х на (, первое из них интегрируя по t от х до b , а второе - от а до х с учетом условий Схф) = О, С2(а) = О, найдем
Сх (X) =
1
1/(0У2(0*. С2(дс) = -
1
\f(t)yx(t)dt.
p(a)W(a) , p(a)W(а) а
Подставляя найденные выражения функций Сх(х) и С2(х) в (22), получим искомое решение краевой задачи (17) и (18) в виде 1
